Ecuación diofantina $a^2+b^2=c^2+d^2$

Question

Estaba razonablemente seguro de haber visto esto antes, pero me preguntaba cómo resolver la ecuación diofantina

$$a^2+b^2=c^2+d^2$$

He intentado una búsqueda en la web y no he encontrado nada al respecto. Estoy tratando de evitar otro viaje a una biblioteca menos local (tal vez debería haber tomado mejores notas sobre ese capítulo...).

No estoy muy seguro de cómo manejar esto. Lo único que puedo averiguar con esta ecuación, si no recuerdo mal, es que la suma de ambos lados sólo puede contener factores primos de 2 o Impares congruentes a 1 mod 4. Y si no quiero que a y b sean iguales a c y d, la suma no puede ser prima ya que creo que un primo congruente a 1 mod 4 puede representarse como la suma de 2 cuadrados exactamente de una manera. Pero eso no me da ninguna idea para resolver realmente este problema.

Answer 1

Esencialmente se pide una parametrización del cuadriculado $V(a^2+b^2=c^2+d^2)$ . Hay un método geométrico general de cómo hacerlo, que puedes encontrar aquí . En la página 13 se analiza este ejemplo: Soluciones de $a^2+b^2=c^2+d^2$ están parametrizados por

$(a,b,c,d) = (p r + q s , q r - p s , p r - q s , p s + q r),$

donde $p,q,r,s$ son arbitrarios. Pero también se puede derivar esto a través de los números complejos (similar a la solución de los números complejos de los triples pitagóricos): Sea $u = p + qi$ , $v = r + si \in \mathbb{C}$ . Entonces tenemos

$$|u \overline{v}| = |u| |\overline{v}| = |u| |v| = |u v|.$$

Eleva al cuadrado ambos lados y calcula las normas de los productos explícitamente. De este modo se obtiene

$$(p r + q s)^2 + (q r - p s)^2 = (p r - q s)^2 + (p s + q r)^2.$$

Answer 2

Dejemos que $N$ sea un número entero positivo con factorización de la potencia del primo $$N=2^a \prod_{i=1}^m p_i^{b_i}\prod_{j=1}^n q_j^{c_j},$$ donde el $p_i$ son primos distintos congruentes con $1$ modulo $4$ y el $q_j$ son primos distintos congruentes con $-1$ modulo $4$ . (Permitimos $a$ para ser $0$ y $m$ o $n$ o ambos podrían ser $0$ .)

Si al menos una $c_j$ es impar, entonces $N$ no tiene representaciones como suma de dos cuadrados. Si todos los $c_j$ son pares, entonces el número de representaciones de $N$ como suma de dos cuadrados es igual a $f(N)$ , donde $$f(N)=4\prod_{i=1}^m (b_i+1).$$ En esta fórmula, en las representaciones de conteo, el orden importa, y permitimos la posibilidad de utilizar enteros negativos.

Si queremos, por ejemplo, la representación $5=1^2+2^2$ para contar como esencialmente igual a la representación $5=2^2+1^2$ y no queremos permitir enteros negativos, las cosas se complican un poco más. Dejemos que $g(N)$ sea el número de representaciones de $N$ como una suma de dos cuadrados no negativos, donde el orden no importa.

Si $f(N)$ como se ha definido anteriormente es divisible por $8$ entonces $g(N)=f(N)/8$ .

Si $f(N)$ como se ha definido anteriormente no es divisible por $8$ entonces $g(N)=(f(N)+4)/8$ .

La fórmula anterior da una respuesta parcial a su pregunta, ya que nos indica el número de soluciones de la ecuación $a^2+b^2=c^2+d^2=N$ donde el orden no importa, y sólo permitimos enteros no negativos en la representación.

Su pregunta también se refiere a cómo producir las soluciones. Lo difícil es encontrar representaciones de los $p_i$ como una suma de dos cuadrados. Como ha mencionado, hay, para cualquier primo $p_i$ congruente con $1$ modulo $4$ , esencialmente una sola representación de este tipo. Existen algoritmos razonablemente buenos para producir la representación de tales primos.

Una vez que tenemos representaciones para los primos apropiados, podemos obtener representaciones para los productos utilizando repetidamente la Identidad de Brahmagupta $$(s^2+t^2)(u^2+v^2)=(su+tv)^2+ (sv-tu)^2.$$ He aquí un ejemplo sencillo. Tenemos $13=2^2+3^2$ y $17=1^2+4^2$ . Así que tomando $s=2$ , $t=3$ , $u=1$ y $v=4$ obtenemos $221=13\cdot 17= 14^2 + 5^2$ .

Otro enfoque esencialmente equivalente es el factor $N$ como un producto de primos gaussianos. Una vez que tenemos eso, podemos producir fácilmente todas las representaciones de $N$ como una suma de dos cuadrados.

Answer 3

$[2(wx+yz)+w+x+y+z+1]^{2} +[2(wy-xz)+w+y-x-z]^{2} = [2(wx-yz)+w+x-y-z]^{2} + [2(wy+xz)+w+x+y+z+1]^{2}$

                 [OR]

$[2wx+yz]^{2} + [2wy-xz]^{2} = [2wx-yz]^{2} + [2wy+xz]^{2}$

Answer 4

Esta ecuación es bastante simétrica, por lo que se pueden escribir fórmulas que hagan demasiado: Así que para la ecuación:

$X^2+Y^2=Z^2+R^2$

solución:

$X=a(p^2+s^2)$

$Y=b(p^2+s^2)$

$Z=a(p^2-s^2)+2psb$

$R=2psa+(s^2-p^2)b$

solución:

$X=p^2-2(a-2b)ps+(2a^2-4ab+3b^2)s^2$

$Y=2p^2-4(a-b)ps+(4a^2-6ab+2b^2)s^2$

$Z=2p^2-2(a-2b)ps+2(b^2-a^2)s^2$

$R=p^2-2(3a-2b)ps+(4a^2-8ab+3b^2)s^2$

solución:

$X=p^2+2(a-2b)ps+(10a^2-4ab-5b^2)s^2$

$Y=2p^2+4(a+b)ps+(20a^2-14ab+2b^2)s^2$

$Z=-2p^2+2(a-2b)ps+(22a^2-16ab-2b^2)s^2$

$R=p^2+2(7a-2b)ps+(4a^2+8ab-5b^2)s^2$

solución:

$X=2(a+b)p^2+2(a+b)ps+(5a-4b)s^2$

$Y=2((2a-b)p^2+2(a+b)ps+(5a-b)s^2)$

$Z=2((a+b)p^2+(7a-2b)ps+(a+b)s^2)$

$R=2(b-2a)p^2+2(a+b)ps+(11a-4b)s^2$

solución:

$X=2(b-a)p^2+2(a-b)ps-as^2$

$Y=2((b-2a)p^2+2(a-b)ps+(b-a)s^2)$

$Z=2((b-a)p^2+(3a-2b)ps-(a-b)s^2)$

$R=2(b-2a)p^2+2(a-b)ps+as^2$

solución:

$X=(p^2-s^2)b^2+a^2s^2$

$Y=b^2(p-s)^2-2abs^2+a^2s^2$

$Z=b^2(p-s)^2+2abps-a^2s^2$

$R=s^2(a-b)^2+2abps-p^2b^2$

número $a,b,p,s$ enteros y nos establece, y puede ser de cualquier signo.

Answer 5

Puedes escribir una ecuación similar y sus soluciones:

$a^2+ac+c^2=x^2+xy+y^2$

Las soluciones tienen la forma:

$a=q^2+k^2-p^2+kq$

$c=q^2+k^2+2p^2+kq-3pk-3pq$

$x=q^2-2k^2-p^2+3pk-2qk$

$y=k^2-2q^2-p^2+3pq-2qk$

más:

$a=(b-k)p^2+2(3b-2k)ps+(5b-7k)s^2$

$c=b(p^2-s^2)$

$x=bp^2+2(3b-2k)ps+(5b-8k)s^2$

$y=(b-k)p^2-2kps-(b-3k)s^2$

más:

$a=-(k+b)p^2+2(3b+k)ps+(7b-13k)s^2$

$c=2b(p^2-s^2)$

$x=(k-b)p^2+2(3b+k)ps+(7b-15k)s^2$

$y=-(k+b)p^2+6(k-b)ps+(7k-5b)s^2$