Llamamos "frescura" de la galleta al número de días hasta su caducidad. Una galleta con frescura $1$ está aquí (y se puede comer) hoy, pero desaparecerá mañana; una galleta con frescura $n+1$ tendrá frescura $n$ mañana. Si la frescura de todas las galletas tiene la misma paridad, esto persistirá durante toda la partida: un jugador (Eve) sólo verá galletas de frescura par, y el otro (Otto) sólo verá galletas de frescura impar. Eve puede ganar inmediatamente sólo si ve exactamente una galleta (porque ninguna galleta se vuelve rancia después de su turno). Otto puede ganar inmediatamente si ve exactamente una galleta, o si sólo ve frescura. $1$ galletas. Vemos que
- Otto gana si ve un número impar de galletas.
- Eva pierde si ve un número par de galletas.
Si Otto ve un número impar de galletas, necesita asegurarse de que Eva verá un número par; comer una galleta deja un número par, y por lo tanto si un número par (posiblemente cero) de galletas expira, entonces Eva verá un número par; y Otto puede garantizar esto comiendo una galleta fresca. $1$ cookie sólo si hay un número impar de ellas.
La pregunta se refiere a los demás casos de paridad constante: Otto ve un número par de galletas, o Eva ve un número impar.
Otto, por su parte, quiere pasar un número par de galletas a Eva; puede hacerlo si (y sólo si) hay cualquier frescura- $1$ galletas, comiendo una de un incluso número de frescura- $1$ galletas, o comer una galleta más fresca cuando hay un impar número de frescura- $1$ galletas. Así que Otto ganará si alguna vez ve una frescura $1$ galleta. (De lo contrario, perderá: ninguna galleta se pondrá rancia y Eva se comerá la última). Lo mejor que puede hacer Eva es intentar evitarlo, comiendo siempre la galleta con menos frescura. (Otto también puede comer la galleta más fresca -presumiblemente la más sabrosa- a menos que haya alguna con frescura $1$ .) Que las frescuras sean $a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_{k+1} \le \ldots \le a_{2k+1}$ en el turno de Eve. Entonces sus movimientos posteriores serán $[a_1, a_2, \ldots]$ y ganará si $a_i \ge 2i$ para $i=1,2,\ldots k+1$ . De lo contrario, perderá. Esto caracteriza completamente el espacio de paridad constante:
- Eve gana si ve un número impar de galletas tal que $a_i \ge 2i$ para todos $i\le k+1$ .
- Su estrategia ganadora es comer siempre la galleta más dura.
- Eva pierde si ve un número par de galletas, o un número impar de galletas tal que $a_i < 2i$ para algunos $i\le k+1$ .
- Otto pierde si ve un número par de galletas tal que $a_i \ge 2i+1$ para todos $i\le k$ .
- Otto gana si ve un número impar de galletas, o un número par de galletas tal que $a_i < 2i+1$ para algunos $i\le k$ .
- Su estrategia ganadora es dar a Eva un número par de galletas (eligiendo si se come o no un $1$ galleta) si es posible, y por lo demás comer siempre la galleta más fresca.
