Construcción de números enteros como clases de equivalencia de pares de números naturales

Question

¿Puede decirme cómo construir los números enteros ( $\mathbb Z$ ) como clases de equivalencia de pares de números naturales ( $\mathbb N$ )? Y dime también la ley conmutativa y asociativa por una relación de equivalencia. Asegúrese de utilizar sólo la suma y la multiplicación.

Answer 1

Sí, es posible. Considere la relación $(a,b) \sim (c,d) \text{ iff } a+d = c+b$ .

Compruebe que $\sim$ es una relación de equivalencia y $[(a,b)]$ sea la clase de equivalencia de $(a,b)$ con respecto a $\sim$ . Defina

$[(a,b)] +_\sim [(c,d)] := [(a+c,b+d)]$ y $-_\sim[(a,b)] := [(b,a)]$ .

Demostrar que se trata de funciones bien definidas y que $$\pi \colon (\{ [(a,b)] \colon a,b \in \mathbb N \}, +_\sim) \to (\mathbb Z , +), [(a,b)] \mapsto a-b$$ es un isomorfismo de grupo.

Le dejo a usted que defina $\cdot_\sim$ tal que $\pi$ se convierte en un isomorfismo de anillo.