Sea $f(x)$ sea un polinomio irreducible con coeficientes enteros, irreducible sobre $\mathbb{Z}$ y tiene grado $a p^b > p$ con $p,a,b>0$ y $p$ un primo.
Parece que $f(x)$ factores en al menos $b$ sobre extensiones de grado $p$ que no pertenecen a los ceros de $f(x)$ o sus extensiones.
Para mayor claridad, contamos 1 vía por extensión, aunque haya más para esa extensión.
¿Cómo probarlo o refutarlo?
Creo que la pregunta se refiere a lo siguiente. Estoy dispuesto a equivocarme, pero quiero abrir el debate con esta "suposición".
Sea $L$ sea el campo de división de $F$ . Entonces podemos preguntarnos si existen campos intermedios $K$ , $\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ tal que A) $f(x)$ factores de forma no trivial en $K[X]$ , B) $K$ no contiene ninguno de los ceros de $f(x)$ y C) la condición de grado $[K:\mathbb{Q}]=p$ se cumple.
La OP se pregunta entonces si siempre hay al menos el número prescrito de campos intermedios de este tipo $K$ .
Empezaré proponiendo un contraejemplo. Sea $$ f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=(x-\zeta)(x-\zeta^2)(x-\overline{\zeta})(x-\overline{\zeta}^2), $$ donde $\zeta=e^{2\pi i/5}$ Entonces el campo de división de $f(x)$ es el quinto campo ciclotómico $L=\mathbb{Q}(\zeta)$ . Tenemos $\deg f(x)=4=2^2$ así como $[L:\mathbb{Q}]=4$ Así que $p=2$ , $b=2$ y $a=1$ .
Pero en este caso sólo existe un campo intermedio $K=\mathbb{Q}(\sqrt5).$ Esto se deduce de la teoría de Galois. El grupo de Galois $Gal(L/\mathbb{Q})$ es cíclico de orden cuatro, por lo que tiene un único subgrupo de índice dos, y la correspondencia de Galois asocia el subcampo $K$ con ese subgrupo.
La factorización correspondiente es $$ f(x)=f_1(x)f_2(x), $$ donde $$ f_1(x)=(x-\zeta)(x-\overline{\zeta})=x^2-2(\cos\frac{2\pi}5)\,x+1 $$ y $$ f_2(x)=(x-\zeta^2)(x-\overline{\zeta^2})=x^2-2(\cos\frac{4\pi}5)\,x+1. $$ Aquí los coeficientes del término lineal están en el subcampo $K$ como $$ \cos\frac{2\pi}5=\frac{\sqrt5 -1}4\qquad\text{and}\qquad\cos\frac{4\pi}5=-\frac{\sqrt5 +1}4 $$ son claramente elementos de $K$ . La teoría de Galois nos dice que los coeficientes de otros factores potenciales como $(x-\zeta)(x-\zeta^2)$ necesariamente generan toda $L$ .
Polinomios ciclotómicos de orden $17$ , $257$ o $65537$ producen polinomios similares de grados respectivos $16$ , $256$ y $65536$ que sólo tienen un campo de este tipo $K$ .
La teoría de Galois dirá mucho sobre el problema. Un campo intermedio $K$ cumplirá la condición C) si el subgrupo $H=Gal(L/K)$ es de índice $p$ en $G=Gal(L/\mathbb{Q})$ . Cumplirá la condición B) si el subgrupo $H$ no tiene puntos fijos entre las raíces de $f(x)$ . Cumplirá la condición A) si la acción de $H$ en las raíces de $f(x)$ no es transitivo. No me atrevo a sugerir el caso más general, cuando todo esto se cumpliría para un gran número de subgrupos $H$ . Cuando $G$ es elemental $p$ -abeliano, parece fácil producir ejemplos de varios subgrupos de este tipo $H$ . En un comentario el propio OP exhibió el ejemplo $f(x)=x^4+1$ . En este caso $G\simeq C_2\times C_2$ es elemental $2$ -y el campo de división $L=\mathbb{Q}(i,\sqrt2)$ tiene tres subcampos como $K$ correspondientes a los subgrupos cíclicos generados por las permutaciones de las raíces $\sigma_1=(12)(34)$ , $\sigma_2=(13)(24)$ y $\sigma_3=(14)(23)$ respectivamente. Los subcampos correspondientes son (en cierto orden) $\mathbb{Q}(i)$ , $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ y $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ .
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