¿Hay alguna solución $x$ al sistema $\sum_i p_i p_i^t x = p_j$ ?

Question

Tengo $n$ vectores $p_k \in \mathbb{R}^m$ , $k \in \{1,...,n\}$ . Me gustaría probar, que siempre hay un vector $x_j$ que resuelve:

$$\sum_{i = 1}^n p_i \ p_i^t \ x_j = p_j \quad \forall \ j$$

La matriz $G = \sum_i p_i \ p_i^t$ puede ser singular, pero ¿hay alguna forma de demostrar que cada $p_j$ está en el rango de Sol? ¿O hay algún contraejemplo?

He pensado en algo como: tomamos un conjunto de $p_i $ que es linealmente independiente. Eso abarcaría el rango de $G$ . Y si ahora encontramos $p_i^tx = \delta_{ij}$ ... Pero no tengo ni idea de si es el camino correcto.

Answer 1

Sea $A= \sum_k p_k p_k^T$ y observe que $Ax = 0 $ si $p_k^T x = 0$ para todos $k$ . En particular, $\ker A = \cap_k \ker p_k^T $ y así ${\cal R A} = (\ker A)^\bot = ( \cap_k \ker p_k^T )^\bot = \sum_k {\cal R p_k} = \operatorname{sp} \{ p_k \}_k$ .

En particular, siempre es cierto que $p_k \in {\cal R A}$ .