Resolución de la ecuación matricial $(X+XB)^{-1} = BX^{-1}+B$

Question

Sea $X$ , $B$ sea $N \times N$ matrices. Supongamos que $X$ , $B$ y $I+B$ son invertibles. Resuelve la siguiente ecuación matricial para $X$ .

$$(X+XB)^{-1} = BX^{-1}+B$$

Y entonces la pista es no asumir sin una buena razón que $X$ , $B$ conmutar. Estoy realmente confundido sobre por dónde empezar con este problema.

Answer 1

A mí me parece bastante sencillo. Lo primero que haría es deshacerme de ese inverso a la izquierda multiplicando ambos lados por X+ XB: $I= (BX^{-1}+ B)(X+ XB)= B+ BX+ B^2+ BXB$ . Resta de ambos lados todos los términos en los que no intervenga X: $I- B- B^2= BX+ BXB= BX(I+ B)$ Y como tanto B como I+ B son invertibles, podemos multiplicar ambos lados por sus inversos. Como aquí la multiplicación es no conmutativa, tenga cuidado de multiplicar $B^{-1}$ a la izquierda y $(I+ B)^{-1}$ a la derecha: $B^{-1}(I- B- B^2)(I+ B)^{-1}= X$ .

Yo consideraría que es una respuesta perfectamente buena, pero si quieres puedes reducirla a $(B^{-1}- I- B)(I+ B)^{-1}= X$

Answer 2

A partir de la ecuación, observando que el LHS es invertible,

$$(X+XB)^{-1}(X+XB)=I=B(X^{-1}+I)X(I+B)=B(I+X)(I+B)$$

para que

$$I+X=B^{-1}(I+B)^{-1}.$$

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Alternativamente, la ecuación puede factorizarse como

$$(I+B)^{-1}X^{-1} = B(X^{-1}+I)$$ y

$$(I+B)^{-1} = B(I+X).$$ El resto es fácil.

Answer 3

La fórmula principal que se necesita aquí es

$(ST)^{-1} = T^{-1}S^{-1}, \tag 0$

que se cumple para dos invertibles cualesquiera $N \times N$ matrices $S$ y $T$ En lo que sigue aplicaremos repetidamente este conocido resultado.

Dado que

$(X + XB)^{-1} = BX^{-1} + B, \tag 1$

observamos vía (0) que el lado izquierdo puede escribirse

$(X + XB)^{-1} = (X(I + B))^{-1} = (I + B)^{-1}X^{-1}; \tag 2$

por lo que (1) se convierte en

$(I + B)^{-1}X^{-1} = BX^{-1} + B, \tag 3$

de donde

$(I + B)^{-1}X^{-1} - BX^{-1} = B, \tag 4$

o

$((I + B)^{-1} - B)X^{-1} = B; \tag 5$

volviendo a tomar las inversas utilizando (0) se obtiene

$X((I + B)^{-1} - B)^{-1} = B^{-1}, \tag 6$

y después de un poco más de álgebra ahora podemos aislar $X$ :

$X = B^{-1}((I + B)^{-1} - B) = B^{-1}(I + B)^{-1} - B^{-1}B$ $= B^{-1}(I + B)^{-1} - I = ((I + B)B)^{-1} - I = (B + B^2)^{-1} - I. \tag 7$

Answer 4

Utilice el teorema de que $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .
$(X+XB)^{-1} = BX^{-1}+B\implies (X(I+B))^{-1}=(I+B)^{-1}X^{-1}=BX^{-1}+B\implies (I+B)^{-1}=B+BX\implies X=B^{-1}(I+B)^{-1}-I$