Estimación del núcleo de Bergman en el disco unitario

Question

Ok, así que quiero estimar el kernel de Bergman y obtener algo como $\int_\mathbb{D} \frac{dV(\zeta)}{\lvert 1-z\bar{\zeta}\rvert ^2} \sim \frac{C \log (1-\lvert z \rvert ^2 )}{\lvert z \rvert ^2}$ en el disco de la unidad.

Hasta ahora, he calculado el núcleo de Bergman en el propio disco unitario y sé que el núcleo de Bergman en el disco unitario es de la forma $\frac{1}{\pi (1-z \bar{\zeta})^2}$ .

Por otro lado, aparentemente hay un teorema que dice $\log (\frac{1}{K(z,z)}) \leq c - \log (1-\lvert z \rvert ^2)$ donde $K(z,z)$ es el núcleo de Bergman en el disco unitario. Sin embargo, no puedo conectar toda esta información y estimar el núcleo de Bergman como quiero.

Hasta ahora, creo que es algo que probablemente debería calcular utilizando las coordenadas polares, pero no tengo ni idea de a dónde me llevaría esto. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Denotemos el núcleo de Bergman por $K_z(\zeta)$ . Observe que la integral que desea calcular es simplemente la norma del núcleo reproductor (probablemente multiplicada por alguna constante). La propiedad del núcleo reproductor implica siempre $$ \|K_z(\zeta)\|^2 = \int_{\mathbb{D}}K_z(\zeta)\overline{K_z(\zeta)} \,dV(\zeta)=K_z(z)$$ por lo que las estimaciones de $K_z(z)$ son útiles.

Answer 2

En primer lugar, observe que $\int_{\mathbb{D}} |K_z(\zeta)|\, dV(\zeta) = \int_\mathbb{D} |K_{|z|}(\zeta)|\, dV(\zeta)$ debido a la invariancia de rotación. Calculemos $\int_\mathbb{D} |K_{r}(\zeta)|\, V(\zeta)$ para $r\in (0,1)$ . Sean las coordenadas polares de $\zeta$ sea $(\rho, \phi)$ entonces $$ I_r = \int_\mathbb{D} \frac{1}{|1 - z\bar {\zeta}|^2}\, V(\zeta) = \int_{0}^1\int_0^{2\pi}\frac{\rho}{1 - 2r\rho\cos\phi + r^2\rho^2}\,d\phi\, d\rho. $$ Denotemos $r\rho$ por $a$ entonces podemos calcular la integral interna de la siguiente manera: $$ \int_0^{2\pi}\frac{d\phi}{1 - 2a\cos\phi + a^2} = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{d\phi}{1 - 2a\cos\phi + a^2} = [u = \tan(\phi/2)] \\ = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{2/(u^2 + 1)}{1 - 2a(1 - u^2)/(1 + u^2) + a^2}du = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{2}{u^2(a + 1)^2 + (1 - a)^2}du = \frac{2\pi}{1 - a^2}. $$ Y vemos que $$ I_r = 2\pi\int_0^1\frac{\rho\,d\rho}{1 - r^2\rho^2} = 2\pi\frac{-\log(1 - r^2)}{2r^2}, $$ que da la asíntota requerida.