Afirmaciones en teoría de grupos que implican resultados profundos en teoría de números

Question

¿Podemos citar algunos ejemplos de teoremas de la teoría de grupos que impliquen (de forma relativamente directa) teoremas o fenómenos interesantes de la teoría de números?

He aquí dos ejemplos que se me ocurrieron:

La existencia de torres de Golod-Shafarevich de campos de clase Hilbert se deduce de una desigualdad en las dimensiones de los dos primeros grupos de cohomología del campo terreno.

Teorema de Iwasawa sobre el tamaño del $p$ parte de los grupos de clase en $\mathbb{Z}_p$ -se deduce del estudio de la estructura de $\mathbb{Z}_p[\![T]\!]$ -módulos.

¿Puede nombrar otros?

Answer 1

A conjetura fue hecha por Dunfield y Calegari que ciertas cubiertas de congruencia de una 3-manifold hiperbólica aritmética tienen trivial primer número de betti (que corresponde a la no existencia de ciertas formas automórficas, conjeturado sobre la base de la hipótesis de Riemann generalizada y el prorama de Langlands). Posteriormente demostrado por Boston y Ellenberg utilizando métodos de pro- $p$ grupos.

Answer 2

En un grupo abeliano, si $x$ tiene orden $m$ y $y$ tiene orden $n$ y $\gcd(m,n)=1$ entonces el orden de $xy$ es $mn$ . Este hecho teórico de grupos tiene como consecuencia teórica de números que si $p$ es un primo, entonces existe una raíz primitiva módulo $p$ .

[Editado en respuesta al comentario de Emanuele Tron]