Afirmaciones en teoría de grupos que implican resultados profundos en teoría de números

Question

¿Podemos citar algunos ejemplos de teoremas de la teoría de grupos que impliquen (de forma relativamente directa) teoremas o fenómenos interesantes de la teoría de números?

He aquí dos ejemplos que se me ocurrieron:

La existencia de torres de Golod-Shafarevich de campos de clase Hilbert se deduce de una desigualdad en las dimensiones de los dos primeros grupos de cohomología del campo terreno.

Teorema de Iwasawa sobre el tamaño del $p$ parte de los grupos de clase en $\mathbb{Z}_p$ -se deduce del estudio de la estructura de $\mathbb{Z}_p[\![T]\!]$ -módulos.

¿Puede nombrar otros?

Answer 1

En el libro de Conway La forma sensual (cuadrática) cubre la prueba de Zolotarev de la reciprocidad cuadrática:

El símbolo de legendre (a|m) se define como el signo de la permutación "multiplicación por a mod m". Esto coincide con la definición habitual. (Nótese la sustitución de tipo Cayley de "a" por la función "multiplicación por a").

Entonces se demuestra la reciprocidad cuadrática utilizando la teoría de grupos y, como señala Conway, ¡no se menciona el número cuadrado ni los números primos!

Answer 2

La noción de campos numéricos aritméticamente equivalentes es un buen ejemplo de conexión entre la teoría de grupos y la teoría de números; véase, por ejemplo: http://sbseminar.wordpress.com/2007/08/29/zeta-function-relations-and-linearly-equivalent-group-actions/

un par de aplicaciones específicas:

Lemma: Sea $G$ sea una $p$ -grupo. Dos subgrupos cualesquiera de índice $p$ son casi conjugados.

Corolario: Dos campos numéricos $K$ , $L$ de grado $p$ primos son aritméticamente equivalentes si y sólo si $[KL:Q] \neq p^2$ Véase "A remark about zeta functions of number fields of prime degree" de R. Perlis.

También haciendo algo de teoría de grupos básica se puede demostrar que cualesquiera dos campos numéricos aritméticamente equivalentes de grado menor que $7$ deben ser isomorfas.(Esto también está demostrado en un artículo de Perlis, pero no recuerdo en qué artículo).

Otro resultado que se me ocurre con esta pregunta (totalmente ajeno a la equivalencia aritmética) es que todo grupo de orden impar puede realizarse como grupo de Galois sobre Q (teorema del orden impar más Shafarevich).

Answer 3

Galois clasificó los grupos transitivos solubles de grado primo $p$ (subgrupos del grupo simétrico ${\frak S}_p$ que son resolubles y actúan transitivamente sobre el $p$ letras) . Este es un ingrediente crucial en la clasificación de todos los grados separables. $p$ extensiones de campos locales de carácter residual $p$ . Como aplicación, se obtiene una demostración elemental de la fórmula de la masa de Serre en grado primo.

Véase La "formule de masse" de Serre en primer grado arXiv:1005.2016 [math.NT]

Ver también Monatshefte 166 (2012) 1, 73--92.

Answer 4

La famosa prueba de una frase de Zagier del Teorema de Fermat ( que todo primo $p \equiv 1$ (mod $4$ ) es la suma de dos cuadrados enteros) se basa en el hecho muy elemental de la teoría de grupos de que si dos involuciones actúan sobre un conjunto finito $S$ y uno de ellos fija un número impar de puntos, el otro también.

Answer 5

No se trata de un ejemplo sencillo, pero el Conjetura de Oppenheim fue demostrada originalmente por Margulis utilizando la teoría ergódica y la teoría de grupos.