Afirmaciones en teoría de grupos que implican resultados profundos en teoría de números

Question

¿Podemos citar algunos ejemplos de teoremas de la teoría de grupos que impliquen (de forma relativamente directa) teoremas o fenómenos interesantes de la teoría de números?

He aquí dos ejemplos que se me ocurrieron:

La existencia de torres de Golod-Shafarevich de campos de clase Hilbert se deduce de una desigualdad en las dimensiones de los dos primeros grupos de cohomología del campo terreno.

Teorema de Iwasawa sobre el tamaño del $p$ parte de los grupos de clase en $\mathbb{Z}_p$ -se deduce del estudio de la estructura de $\mathbb{Z}_p[\![T]\!]$ -módulos.

¿Puede nombrar otros?

Answer 1

Teorema de Brauer implica la continuación meromórfica de las funciones L de Artin (de hecho, creo que esa fue la motivación de Brauer).

Answer 2

El hecho (de la teoría del campo de clases) de que los ideales se convierten en principales en el campo de clases de Hilbert se deduce del hecho de que la Verlagerung $V:G^{\text{ab}}\rightarrow H^{\text{ab}}$ es cero si $G$ es cualquier grupo finito y $H$ es su subgrupo conmutador.

Answer 3

Seguro que omitiste esto porque es demasiado clásico: gran parte de la teoría de grupos se inventó para demostrar que la mayoría de los números algebraicos no pueden construirse mediante extensiones radicales .

Sigue siendo la mejor conexión directa entre [nt.number-theory] y [gr.group-theory] que conozco.

Para una versión más "avanzada", haga lo siguiente cálculos de cohomología de grupos ¿Contar?

Answer 4

Yo diría que la clasificación de los subgrupos de GL $_2(F_p)$ juega un papel importante en el resultado de Serre sobre la casi subjetividad de $\ell$ -ádicas de las representaciones de Galois de curvas elípticas CM.

Propiedades galoisianas de los puntos de orden finito de las curvas elípticas. (Francés) Invent. Math. 15 (1972), nº 4, 259-331.

Answer 5

El teorema fundamental de la aritmética (unicidad de la factorización de números enteros en primos) es una consecuencia inmediata del teorema de Jordan-Holder sobre la unicidad de los factores de composición de grupos finitos.