¿Demostrar que una función multivariable es inyectiva?

Question

Me gustaría demostrar que el mapa $g:A\rightarrow \mathbb{Z}^+ $ definido por $g(a,b)=\frac{1}{2}(a-1)a+b$ es biyectiva, donde $A={\{(a,b):a,b\in\mathbb{Z}^+ and \space b\leq a\}}$ .

Hasta ahora, estoy trabajando en la parte de inyección de mi prueba: Que $a_1, b_1, a_2, b_2 \in \mathbb{Z}^+$ donde $g(a_1, b_1)=g(a_2, b_2)$ . Hasta ahora, he simplificado las cosas a $a_1^2-a_1+2b_1=a_2^2-a_2+2b_2$ pero no estoy seguro de cómo puedo probarlo $a_1=a_2$ y $b_1=b_2$ de aquí. ¿Podría alguien darme un empujoncito en la dirección correcta?

Answer 1

Como preconizó Alan,

dado $ c\in\Bbb Z^+$ buscamos $ a\in \Bbb Z^+$ tal que

$$\frac{a(a-1)}{2}< c\le \frac{a(a+1)}{2}$$ o $$f(a)\le c-1<f(a+1)$$ si $$f(x)=\frac{x(x-1)}{2}$$ $$f^{-1}(x)=\frac{1+\sqrt{1+8x}}{2}$$

Así que..,

$$a=\lfloor \frac{1+\sqrt{8c-7}}{2}\rfloor$$