Algunos conceptos básicos de los espacios de Sobolev

Question

Deje $W^{m,p}(\Omega) = \{ f \in L^p(\Omega): D^\alpha f \in L^p(\Omega) \text{ for multi-indices } |\alpha| \leq m\}$ donde $D$ denota la débil derivados. Deje $W_0^{m,p}$ denotar el cierre de $C_c^\infty(\Omega)$$W^{m,p}(\Omega)$.

¿Por qué es cierto que $W_0^{m,p}(\mathbb{R}^d) = W^{m,p}(\mathbb{R}^d)$, pero en general $W_0^{m,p}(\Omega) \subsetneq W^{m,p}(\Omega)$?

Estoy tratando de entender por qué hay una necesidad de considerar $W_0^{m,p}(\mathbb{R}^d)$. Supongo que es debido a que los elementos en $W^{m,p}(\Omega)$ pueden llegar a ser realmente complicado, pero no tengo muy buena intuición sobre ambos espacios.

Answer 1

En realidad, hay tres espacios de Sobolev, que, en muchas situaciones seguramente son los mismos, pero los detalles relativos a los valores límite son (como era de esperar) un gran problema técnico.

El a-priori de espacio más pequeño es el cierre de _test_functions_ (compacta compatible suave, con apoyo en el interior del dominio) con respecto a la Sobolev norma. El a-priori de tamaño medio Sobolev espacio es el cierre de _smooth_functions_ con respecto a la Sobolev norma. El a-priori más grande el espacio de Sobolev es la colección de distribuciones con la correspondiente distribución de los derivados en $L^p$. (Una relativamente reciente libro de Gerd Grubb, "la distribución y los Operadores", explica el impacto de las condiciones de contorno.)

En niza, situaciones, tales como "espacio libre" de los problemas, todos estos espacios son fácilmente demostrado ser el mismo.

Con problemas de límites, y no necesariamente intuitiva cosas pueden suceder, ya que Sobolev normas (mientras que, posiblemente, más apropiado que el de $C^k$ normas para la discusión de ecuaciones en derivadas parciales) no son instantáneamente comparable a la clásica pointwise ($C^k$) de las normas. Es decir, no es la "pérdida" de $n/2+\epsilon$ derivadas de Sobolev de la desigualdad.

Sin embargo, hay "traza teoremas", que con suave límites de predecir con precisión lo que la pérdida de Sobolev índice se produce en la restricción de la frontera: es la mitad de la codimension, por lo que, normalmente, $1/2$.

Por ejemplo, un $L^2$ de límite de funciones de prueba (con el apoyo en el interior), que sin duda puede tener distinto de cero de los valores de límite. Elevar el Sobolev-norma del índice implica una fuga en el límite de un (típicamente menos-por-$1/2$) espacio de Sobolev en el límite. Comparación de a $C^k$ normas, a través de Sobolev de la desigualdad.

Answer 2

La diferencia entre el $W^{m,p}$ $W_0^{m,p}$ no es meramente técnico. La idea de que el espacio de $W_0^{1,p}(\Omega)$ es que se trata de esas funciones en $W^{1,p}(\Omega)$ que toma el valor de cero en el límite de $\Omega$. Para general $W_0^{m,p}$ ($m>1$) los derivados hasta el fin de $m-1$ tiene que ser cero en el límite. Desde el límite de $\mathbb{R}^n$ está vacía tiene sentido que $W_0^{m,p}(\mathbb{R}^n)=W^{m,p}(\mathbb{R}^n)$.

Ahora para definir lo que significa para restringir un Sobolev función a la frontera no es sencilla, debido a que el límite tiene medida cero y $L^p$-funciones son, de hecho, de clases de equivalencia de funciones, es decir, sólo están definidas en conjuntos de medida cero.

El modo más simple de esto es el uso de la definición que dio (cierre de forma compacta compatible suave funciones). Tiene la ventaja de que es fácil trabajar con ellos. El inconveniente es que no es obvio que la definición que realmente capta la intención noción de cero los valores de límite.