Evalúe $\int \frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{2x}-(x+1)^2}} dx $

Question

E $$\int \frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{2x}-(x+1)^2}} dx $$

Ahora, lo que he comprobado es la derivada de $\sqrt{e^{2x}-(x+1)}$ = $\frac{2e^{2x}-1}{2\sqrt{e^{2x}-(x+1)}}$ que me da una forma de empezar pero no es mucho . Agradeceré cualquier consejo.

El problema es de una gaceta matemática rumana de una edición más antigua llamada en mi idioma "Gazeta Matematica" ( no sé si he escrito bien el nombre en inglés) . Más o menos publica problemas para la olimpiada.

Answer 1

$$I=\int \frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{2x}-(1+x)^2}} dx$$ Sea $$J=\int \frac{e^{2x}-(1+x)}{\sqrt{e^{2x}-(1+x)^2}}dx$$ Sea $$e^{2x}-(1+x)^2=t \implies 2[e^{2x}-(1+x)] dx=dt$$ $$\implies J=\int \frac {dt}{2\sqrt{t}} dt =\sqrt{e^{2x}-(1+x)^2}$$ nota siguiente $$I=J-K, ~~ K=\int \frac{x dx}{\sqrt{e^{2x}-(1+x)^2}}=\int \frac{x e^{-x}dx}{\sqrt{1-e^{-2x}(1+x)^2}}$$ Sea $e^{-x}(1+x)=u \implies -xe^{-x} dx =du$ entonces $$K=-\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=-\sin^{-1}[e^{-x} (1+x)]$$ Por fin, $$I=\sqrt{e^{2x}-(1+x)^2}+ \sin [e^{-x} (1+x)]+C$$