¿Qué es una sección?

Question

Esta pregunta surge de las respuestas a Ho Chung Siu's pregunta sobre los paquetes vectoriales. Basándome en mi lectura, parece que la definición del término "sección" pasó por varias fases de generalidad, empezando por los haces vectoriales y terminando con cualquier inverso derecho. Así que admito que estoy un poco confundido sobre qué nivel de generalidad es el más útil.

Algunas preguntas concretas:

• ¿Por qué podemos pensar en las secciones de un haz sobre un espacio como funciones generalizadas sobre el espacio? (Estoy siendo intencionadamente impreciso sobre el tipo de haz y el tipo de espacio).
• ¿Qué relación hay entre las secciones de un haz y las secciones de una gavilla?
• ¿Cómo debo considerar los inversos de la derecha en general? Esencialmente sólo tengo intuición para el inverso recto set-teórico.

También estaría bien que se indicaran recursos en lugar de respuestas.

Answer 1

A su primera pregunta, "función en un espacio" $X$ suele significar un morfismo de $X$ a uno de varios "espacios base" de elección, por ejemplo los reales si se trabaja con variedades lisas, Spec(A) si se trabaja con esquemas sobre un anillo, etc. (Se trata de un uso bastante selectivo de la palabra "función" que solía confundirme). Sección A $\gamma$ de un haz (más o menos) $E\to X$ se considera una "función generalizada" sobre $X$ pensándola como una función con "codominio variable", es decir, en cada punto $x\in X$ toma valor en la fibra
$E_x\to x$ . Si se trata de haces localmente libres / localmente triviales, es decir $E$ es localmente (sobre conjuntos abiertos
$U\subset X$ ) es isomorfo a algún producto $U\times T$ entonces podemos identificar localmente las fibras con $T$ . Así, localmente, una sección sólo se parece a una función con codominio $T$ que a menudo se requiere para ser agradable.

A su segunda pregunta, Generalmente tomo la definición "derecho-inverso" o "preinverso" de la teoría de categorías, porque se relaciona con otras de la siguiente manera precisa:

Diga $\pi: Y\to X$ es un espacio sobre $X$ (intencionadamente vago). La palabra "sobre" se utiliza para activar la tradición de suprimir la referencia al mapa $\pi$ y referirse en su lugar al dominio $Y$ . Para $U\subseteq X$ abierta, la notación $\Gamma(U,Y)$ indica secciones del mapa $\pi$ en $U$ es decir, mapas $U\to Y$ tal que la composición $U \to Y\to X$ es la identidad (por lo que necesariamente aterriza de nuevo en $U$ ). No es difícil ver que
$\Gamma(-,Y)$ forma en realidad una gavilla de conjuntos en $X$ .

A la inversa, dada cualquier gavilla de conjuntos $F$ en un espacio $X$ se puede formar su espace étalé un espacio topológico sobre $X$ , digamos $\pi: \acute{E}t(F) \to X$ . Entonces para un $U\subseteq X$ los elementos de $F(U)$ corresponden exactamente a secciones del mapa $\pi$ que por la notación anterior se escribe $\Gamma(U,\acute{E}t(F)$ . Es decir,
$F(-)\simeq\Gamma(-,\acute{E}t(F))$ como gavillas en $X$ . Esto explica por qué la gente a menudo se refiere a los elementos de la gavilla como "secciones" de la gavilla.

Además, lo que ahora denotamos por $\acute{E}t(F)$ en realidad solía ser la definición de una gavilla, por lo que la gente tiende a identificar las dos y escribir $\Gamma(-,F)$ a en lugar de $\Gamma(-,\acute{E}t(F))$ . Esto explica la tradición, por otra parte extraña, de escribir $\Gamma(U,F)$ en lugar de la notación más compacta $F(U)$ .

$\Big($ Desafortunada advertencia lingüística: Muchas personas utilizan incorrectamente el término "espacio étale". Sin embargo, la palabra francesa "étalé" significa "extendido", mientras que "étale" (sin el segundo acento) significa "tranquilo", y no se pretendía que se utilizaran indistintamente en matemáticas. Es una lástima, porque el espace étalé tiene muy poco que ver con la cohomología étale. Más desafortunada es la molesta coincidencia de que cuando se trata de esquemas el mapa de proyección del espace étalé resulta ser un morfismo étale, porque es localmente en su dominio un isomorfismo de esquemas, una condición mucho más fuerte. $\Big)$

A su tercera pregunta, Creo que la observación de que $\Gamma(-,Y)$ forma una gavilla en $X$ ofrece un buen contexto en el que pensar en las secciones $X$ a $Y$ viven en la gavilla $\Gamma(-,Y)$ como sus elementos definidos globalmente.

Answer 2

Una sección de un fardo $B$ sobre un espacio $S$ es sólo un mapa $\sigma: S \rightarrow B$ tal que para cada $x \in S$ , $\sigma(x) \in B_x$ donde $B_x$ es la fibra sobre $x$ .

Las funciones corresponden al caso en que la base es el dominio $D$ y el haz es $D \times R$ donde $R$ es el alcance. En ese sentido, las secciones son funciones generalizadas.

La noción de sección de una gavilla es esencialmente la misma, pero hay que adaptarla convenientemente.

Me parece que cualquier referencia que defina un haz vectorial o una gavilla explicaría esto. Supongo que recomendaría cualquier introducción moderna a las superficies de Riemann, donde haya un mínimo de maquinaria y complicación. Aunque no trabajo con superficies de Riemann, me pareció divertido aprender sobre ellas, porque tienen las ventajas de ser unidimensionales pero poseen la rica estructura de un objeto bidimensional.

Answer 3

Los haces suelen definirse como thingamajigs localmente trivales. Un haz trivial con fibra $F$ parece el mapa de proyección $U \times F \to U$ . Una sección de un haz trivial no es más que una función $U \to F$ . Una función global sobre una variedad es lo mismo que un montón de funciones locales que coinciden literalmente en los solapamientos. Del mismo modo, una sección global de un haz es lo mismo que un montón de secciones locales (que, de nuevo, son sólo funciones) que "coinciden" en las superposiciones, donde ahora "coincidir" no significa coincidir literalmente, sino "coincidir después de un giro", donde el "giro" proviene de las funciones de transición del haz vectorial.

Siempre que tengamos un haz, podemos formar una gavilla a partir de él. La gavilla correspondiente es la que mapea conjuntos abiertos $U$ al conjunto de secciones del haz sobre $U$ . A la inversa, si tenemos una gavilla sobre un espacio $X$ es posible construir un espacio $Y$ y un mapa $Y \to X$ de forma que las "secciones" de la gavilla correspondan a las secciones reales del mapa $Y \to X$ . Es lo que se denomina el espace étalé y se analiza aquí y en algún lugar en Hartshorne capítulo II sección 1.

También puede interesarte consultar el ejercicio 5.18 del capítulo II de Hartshorne.

Answer 4

Si $\pi: E \to M$ es un haz sobre un espacio topológico $M$ se puede definir una gavilla sobre $M$ que asocia a cada conjunto abierto $U \subseteq M$ el conjunto de secciones sobre él, es decir, mapas $\sigma: U \to E$ tal que $\pi \circ \sigma = \mathrm{id}_{U}$ . A la inversa, dada una gavilla $\mathcal{F}$ en $M$ se puede construir un espacio topológico tal que su $\mathcal{F}$ es su gavilla de secciones. Este Página de Wikipedia tiene información al respecto. También podrá encontrar información en cualquier libro de introducción a la geometría algebraica (por ejemplo, Hartshorne).