Todos los números enteros positivos $a,b$ tal que $a^2+b \mid b^2+a$

Question

¿Cómo se pueden encontrar todos los enteros positivos $a,b$ tal que $a^2+b \mid b^2+a$ ?

Answer 1

En primer lugar, como ya se ha señalado, $a\le b$ . A continuación, puesto que $b^2+a=(b-a^2)(b+a^2)+a+a^4$ se deduce que $a^2+b$ debe dividir $a^4+a$ . Vemos entonces que dado $a\ge1$ si es un número entero positivo $b$ es tal que $a^2+b\mid b^2+a$ entonces $b=d-a^2$ donde $d$ es un divisor de $a^4+a$ superior a $a^2$ . Por ejemplo, $b=a^4-a^2+a$ es una solución para todos $a\in\mathbb{N}$ .

Una sola línea en Mathematica para calcular todas las $b$ para un $a$ es

f[a_] := Select[Divisors[a + a^4]-a^2, Positive]

Algunos ejemplos:

a=2 ; b -> {2,5,14}
a=3 ; b -> {3,5,12,19,33,75}
a=4 ; b -> {4,10,36,49,114,244}
a=5 ; b -> {5,10,17,20,38,45,65,80,101,185,290,605}
a=6 ; b -> {6,26,57,150,181,398,615,1266}
a=7 ; b -> {7,37,123,252,295,553,1155,2359}
a=8 ; b -> {8,12,44,50,88,107,152,164,278,392,449,620,962,1304,1988,4040}
a=9 ; b -> {9,65,138,284,357,576,649,1014,1233,2109,3204,6489}
a=10 ; b -> {10,30,43,54,82,186,285,355,615,670,810,901,1330,1902,4905,9910}

Una pregunta obvia es: ¿cuántas soluciones hay para un problema dado? $a$ ? Aquí están los primeros números de la secuencia:

Table[Length[f[a]], {a, 2, 100}]

{3, 6, 6, 12, 8, 8, 16, 12, 16, 18, 24, 8, 24, 20, 10, 32,
12, 24, 36, 16, 8, 36, 48, 12, 40, 48, 12, 24, 32, 36, 36, 32, 16, 
48, 36, 16, 48, 32, 32, 24, 16, 24, 48, 48, 16, 60, 60, 36, 72, 24, 
24, 20, 64, 32, 96, 32, 8, 72, 24, 16, 64, 42, 56, 96, 32, 12, 108, 
96, 16, 32, 24, 16, 36, 144, 24, 48, 16, 20, 180, 20, 32, 36, 96, 32, 
24, 64, 64, 64, 48, 24, 36, 32, 32, 144, 48, 24, 48, 108, 18}