Cómo calcular los siguientes límites: $\lim_{x\to0}\frac{\ln\left(\cosh\left(x\right)\right)}{\ln\left(\cos\left(x\right)\right)}$

Question

Cómo calcular los siguientes límites:

1. $\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln\left(\cosh\left(x\right)\right)}{\ln\left(\cos\left(x\right)\right)}$
2. $\lim\limits_{n\to\infty}\sin\left(\pi\sqrt{n^{2}+1}\right)$

$1.$

$$\frac{\ln\left(\cosh\left(x\right)\right)} {\ln\left(\cos\left(x\right)\right)}=\log\thinspace_{\cos\left(x\right)}\left(\cosh\left(x\right)\right)=\frac{ \log\thinspace_{\cos\left(x\right)}\left(\cosh\left(x\right)\right)}{\cosh\left(x\right)- 1}\cdot\left(\cosh\left(x\right)-1\right)$$

También ajuste: $\cosh\left(x\right)-1=t$ que tenemos: $$\lim_{t\to0}\frac{\log\thinspace_{\cos\left(x\right)}\left(t+1\right)}{t}t=\log\thinspace_{\cos\left(x\right)}\left(e\right).0=0$$

Pero ésta no es la respuesta, así que ¿dónde está mi error?

$2.$

Basándome en mi información sobre las propiedades de los límites, como la función seno es continua sobre su por lo tanto el límite dado se puede reescribir como:

$$\sin\left(\pi\lim_{n\to\infty}\sqrt{n^{2}+1}\right)$$

que no existe, pero no es la respuesta, ¿por qué me equivoco? También si consideramos la función dada como un valor real

función, por ejemplo $$\lim_{x\to\infty}\sin\left(\pi\sqrt{x^{2}+1}\right)$$ no existe, entonces ¿cuál es la razón detrás de este hecho?

Por qué el límite de la función como sucesión sí existe pero como función de valor real no tenemos tal condición?

se agradecerá cualquier pista elemental para determinar el primer límite.

Answer 1

Tenemos que $$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}=1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cosh(x)}{x^2}=-\frac{1}{2}$$ Y finalmente $$\frac{\log(\cosh(x))}{\log(\cos(x))}=\frac{\log(1+(\cosh(x)-1))}{\log(1+(\cos(x)-1))}=\frac{\log(1+(\cosh(x)-1))}{\cosh(x)-1}\frac{\cosh(x)-1}{x^2} \frac{x^2}{\cos(x)-1}\frac{\cos(x)-1}{\log(1+(\cos(x)-1))}$$

Answer 2

En $x\to0$ , $\cos x-1\to0$ y $\cosh x-1\to0$ Así que $\frac{\ln\cosh x}{\cosh x-1}\to1$ y $\frac{\ln\cos x}{\cos x-1}\to1$ . Así que su límite es $$\lim_{x\to0}\frac{\cosh x-1}{\cos x-1}=-\lim_{x\to0}\left(\frac{\sinh\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\right)^2=-1,$$ desde $$\lim_{y\to0}\frac{\sinh y}{\sin y}=\frac{\lim_{y\to0}\frac{\sinh y}{y}}{\lim_{y\to0}\frac{\sin y}{y}}=\frac11=1.$$ (El error de su planteamiento es que, aunque $\frac{\ln(t+1)}{t}\to1$ , $\frac{\log_{\cos x}(t+1)}{t}$ lo divide por $\ln\cos x$ que $\to0$ .) Para tu segundo límite, reescribe el seno como $$(-1)^n\sin\pi(\sqrt{n^2+1}-n)=(-1)^n\sin\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}.$$ En $n\to\infty$ el argumento $\to0$ por lo que el límite es $0$ . Es diferente con $x$ porque entonces $\pi x$ no es un medio punto.

Answer 3

Pista: Utiliza la regla de L'Hospital dos veces para hallar $\lim_{x\to0}\frac{\ln\left(\cosh\left(x\right)\right)}{\ln\left(\cos\left(x\right)\right)}$ .

Answer 4

¿Te gusta el exceso de locura? Por el producto de Weierstrass para la función coseno $$ \cos(x)=\prod_{n\geq 0}\left(1-\frac{4x^2}{\pi^2(2n+1)^2}\right) $$ tenemos $$ \cosh(x)=\prod_{n\geq 0}\left(1+\frac{4x^2}{\pi^2(2n+1)^2}\right) $$ de ahí $$ \frac{\log\cosh(x)}{\log\cos(x)}=\frac{\sum_{n\geq 0}\log\left(1-\frac{4x^2}{\pi^2(2n+1)^2}\right)}{\sum_{n\geq 0}\log\left(1+\frac{4x^2}{\pi^2(2n+1)^2}\right)}=\frac{-\sum_{n\geq 0}\sum_{m\geq 1}\frac{4^m x^{2m}}{m\pi^{2m}(2n+1)^{2m}}}{-\sum_{n\geq 0}\sum_{m\geq 1}\frac{(-1)^m 4^m x^{2m}}{m\pi^{2m}(2n+1)^{2m}}}$$ y encendiendo la serie $n$ y $m$ $$ \lim_{x\to 0}\frac{\log\cosh(x)}{\log\cos(x)}=\frac{\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^2}}{\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)}{(2n+1)^2}}=\color{red}{-1}.$$

Answer 5

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} {\ln\pars{\cosh\pars{x}} \over \ln\pars{\cos\pars{x}}} & \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ x\ \to\ 0}{\sim}\,\,\, {\ln\pars{1 + x^{2}/2} \over \ln\pars{1 - x^{2}/2}} \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ x\ \to\ 0}{\sim}\,\,\, {x^{2}/2 \over -x^{2}/2} = \bbox[15px,#ffc,border:1px groove navy]{1} \end{align}