Hay muchas expresiones como, para todo x, para cualquier x, para algún x, etc.
Puede que se deba al hecho de que no soy hablante nativo de inglés, pero No sé distinguir entre "para todos" y "para cualquiera".
(Creo que "para algún x" significa "existe al menos un punto", ¿no?)
¿Podría explicarlo? ¡Gracias!
El término "cualquiera" es problemático, porque en su uso natural puede significar "todos" o "al menos uno", según el contexto. He aquí algunos ejemplos.
(1) Para cualquier $a > 0$ hay un $x > 0$ tal que $x^2 = a$ .
(2) ¿La ecuación $x^3 + y^3 + z^3 = 33$ ¿tiene alguna solución integral?
(3) ¿Ha resuelto alguno de esos problemas?
(4) Utilizando esta nueva técnica, puedo resolver cualquiera de los problemas de esa lista.
En el primer ejemplo, "any" = "all". En el segundo, "have any" se refiere a la existencia. En el tercero, "cualquiera" significa "al menos uno" (existencia). En el cuarto, "cualquiera" significa "todos".
He conocido estudiantes de matemáticas débiles que son nativos ingleses y piensan que (1) se demuestra demostrando que funciona cuando $a = 1$ aunque esa forma de interpretar (1) la convierte en una afirmación trivial. En otras palabras, interpretan que "Para cualquiera" en (1) significa "Para algunos", y por tanto convierten (1) en una afirmación de existencia en lugar de una afirmación universal. Ese uso de "any" está presente en el inglés no matemático (véase el tercer ejemplo), y creo que esa es la base del malentendido del estudiante (comparable a tener que aprender el diferente significado de "or" en inglés matemático en comparación con el inglés no técnico). No creo que ningún hablante nativo de inglés malinterprete los diferentes sentidos de "any" en (3) y (4).
Aconsejaría a alguien que no tenga el inglés como lengua materna que evitara utilizar "any" en enunciados matemáticos. Puede transmitir lo que necesita con otras palabras.
¿Significa eso que en el contexto matemático siempre se cumple que for any != for some ? Por ejemplo, en mi libro de texto de CS "Almacenamos x si u minimiza abs(x-u) para cualquier par x,u". ¿"Cualquier par" significa "todos los pares" o "al menos un par"?
Sólo quiero señalar la diferencia entre "para todos" y "para cualquiera":
1) "para todos" suele utilizarse al final de la frase, lo que significa que la condición se cumple siempre. Por ejemplo, " $x=x$ para todos $x\in\mathbb{R}$ ".
2) "para cualquiera" suele colocarse al principio de la frase, subrayando que se está eligiendo un elemento arbitrario. Por ejemplo, "para cualquier $x\in\mathbb{R}$ tenemos $x=x$ ".
Al dar un downvote, por favor proporcione su razón, de lo contrario nadie sabría dónde está el problema.
La afirmación sobre el uso al principio o al final de la frase no me parece correcta (aunque no he hecho un recuento estadístico del uso en los libros de matemáticas, ¿y tú?). Pero la distinción que sugieres (entre decir que una condición se cumple siempre y decir que se cumple con algún objeto elegido arbitrariamente) es la que sugiere Bertrand Russell en *The Principles of Mathematics", §61.
Su interpretación de "para algunos" es correcta.
No hay diferencia lógica entre "para todos" y "para cualquiera", ambos significan $\forall$ . Para cualquier número n en los números enteros, siempre hay un número mayor que él. Para todos los números enteros, siempre hay un número mayor que él.
La diferencia lingüística radica en que la frase debe utilizar la forma plural de los sustantivos cuando se emplea "para todos", mientras que puede utilizar sustantivos singulares cuando se emplea "para cualquiera".
¿Entiendo correctamente su respuesta, que usted está diciendo que for any es equivalente a for an arbitrary ?
@lucidbrot Sí. Como, diciendo for an arbitrary no estás restringiendo de qué elemento estás hablando. Es decir, podría ser any . for an( arbitrar)y
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Leí una sentencia, "Supongamos que f: A en R^n -> R es diferenciable en un conjunto abierto A. Para cualquier x, y en A tal que el segmento de línea que une x e y se encuentra en A ( que no tiene por qué suceder para todos x,y ), hay un punto c en ese segmento tal que f(y)-f(x)=Df(c)(y-x)." Esta es la frase que me confundió. Sin embargo en el pasado ya tenía cierta curiosidad al respecto.
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Estoy de acuerdo en que la palabra "cualquiera" es a veces confusa. Yo casi siempre escribo "para cada uno". Creo que es mucho más claro.
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T espanol.stackexchange.com/a/50951/10447 sobre el inglés me parece útil.