¿Definiciones complejas de Chevalley Eilenberg?

Question

En Weibel's Introducción al álgebra homológica el complejo de Chevalley-Eilenberg de un álgebra de Lie $g$ se define como $\Lambda^*(g) \otimes Ug$ donde $Ug$ es el álgebra universal envolvente de $g$ . La diferencial aquí tiene grado -1.

Me han dicho que el complejo Chevalley-Eilenberg para $g$ i $C^*(g) = \text{Sym}(g^*[-1])$ , el álgebra conmutativa libre graduada en el espacio vectorial dual de $g$ situado en el grado 1. El soporte $[,]$ es un mapa $\Lambda^2 g \to g$ por lo que su doble $d : = [,]* \colon g^* \to \Lambda^2 g^*$ es un mapa de $C^1(g) \to C^2(g)$ . Desde $C^*(g)$ es libre, esto define una derivación, también llamada $d$ de $C^*(g)$ a sí misma. Esta derivación satisface $d^2 = 0$ precisamente porque $[,]$ satisface la identidad de Jacobi.

Por último, Kontsevich y Soibelman en Teoría de la deformación I dejamos como ejercicio construir el complejo de Chevalley-Eilenberg de forma análoga a como se construye el complejo de Hochschild para un álgebra asociativa considerando deformaciones formales.

El primero es un complejo de cadena, el segundo un complejo de co-cadena, y qué tienen que ver ambos con las deformaciones formales de $g$ ?

Answer 1

El primer complejo, de Weibel, es una resolución proyectiva de la trivial $\mathfrak g$ -módulo $k$ como $\mathcal U(\mathfrak g)$ -módulo; ¡estoy seguro de que Weibel lo dice!

Su segundo complejo se obtiene a partir del primero aplicando el functor $\hom_{\mathcal U(\mathfrak g)}(\mathord-,k)$ donde $k$ es el trivial $\mathfrak g$ -módulo. Por lo tanto, calcula $\mathrm{Ext}_{\mathcal U(\mathfrak g)}(k,k)$ también conocido como $H^\bullet(\mathfrak g,k)$ la cohomología del álgebra de Lie de $\mathfrak g$ con coeficientes triviales.

La conexión con la teoría de la deformación se explica ampliamente en Gerstenhaber, Murray; Schack, Samuel D. Algebraic cohomology and deformation theory. Deformation theory of algebras and structures and applications (Il Ciocco, 1986), 11-264, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., 247, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1988.

En particular ninguno de tus dos complejos "computa" deformaciones: necesitas tomar la resolución proyectiva $\mathcal U(\mathfrak g)\otimes \Lambda^\bullet \mathfrak g$ aplica el functor $\hom_{\mathcal U(\mathfrak g)}(\mathord-,\mathfrak g)$ donde $\mathfrak g$ es el adjunto $\mathfrak g$ -y calcular la cohomología para obtener $H^\bullet(\mathfrak g,\mathfrak g)$ la cohomología del álgebra de Lie con coeficientes en la representación adjunta. Entonces $H^2(\mathfrak g,\mathfrak g)$ clasifica las deformaciones infinitesimales, $H^3(\mathfrak g,\mathfrak g)$ es el objetivo de las obstrucciones a la extensión de las deformaciones parciales, y así sucesivamente, exactamente a lo largo del yoga habitual de la teoría de la deformación formal à la Gerstenhaber.

Por cierto, el artículo original [Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel Teoría cohomológica de grupos de Lie y álgebras de Lie. Trans. Amer. Math. Soc. 63, (1948). 85--124.] sirve de introducción increíblemente legible a la cohomología de las álgebras de Lie.

Answer 2

El otro comentario reveló la mayor parte de la historia. Permítanme añadir algunos puntos. En primer lugar, el complejo de Chevalley-Eilenberg se define para el caso más general de $H^\bullet(g,M)$ --- cohomología con coeficientes en un módulo M. En el caso M=k el módulo trivial, se obtiene el segundo complejo. En el caso $M=g$ la representación adjunta, se obtienen los comples que Kontsevich y Soibelman piden construir.

El primer complejo es alguna versión del complejo de Koszul $(A^!)^* \otimes A$ para álgebras cuadráticas: se puede pensar en el dual de Koszul del álgebra dg-comutativa $\Lambda^\bullet( g^* )$ como el álgebra cuadrático-lineal $U(\mathfrak{g})$ . Es acíclico, y da una resolución del módulo trivial por libre $U(g)$ -para calcular los grupos Ext. $Ext_{U(g)}^\bullet(k,M)=H^\bullet(g,M)$ .

Por último, otra forma de pensar en su segundo complejo es la siguiente. Si $g$ es el álgebra de Lie de un grupo Lie $G$ se puede considerar el subcomplejo del complejo de Rham formado por las formas diferenciales invariantes a la izquierda. Una forma invariante a la izquierda se define por su comportamiento en la unidad del grupo, las formas 1- son duales al espacio tangente y la forma $ g^* $ las 2 formas dan $\Lambda^2(g^*)$ etc., y se obtiene precisamente el complejo CE, donde el diferencial es lo que induce el diferencial de Rham. Si $G$ es compacto, es fácil demostrar que este complejo tiene la misma cohomología que el complejo de Rham, ¡así que calculamos la cohomología de Rham del grupo en este caso!