convergencia hacia el infinito de los tiempos de salto de los procesos de Levy

Question

La siguiente es una observación de Philip Protter en la página 26 del libro Integración estocástica y ecuación diferencial que aún no he podido probar.

Sea $\Lambda$ sea un conjunto borel en $\mathbb{R}$ se alejó de $0$ (es decir, $0 \notin \bar{\Lambda}$ }. Para un proceso de Lévy $X$ defina $T_{\Lambda}^{1} := \lbrace t >0 : \Delta X_t \in \Lambda \rbrace, \cdots, T_{\Lambda}^{n}:= \lbrace t > T_{\Lambda}^{n-1}: \Delta X_{t} \in \Lambda \rbrace$ . ¿Cómo puede demostrar $\lim_{n \to \infty} T_{\Lambda}^{n} \stackrel{a.s}{=} \infty$ ?

Mi intento Estoy tratando de demostrar que $(T_{\Lambda}^{n})_{n \geq 1} $ tiene incrementos independientes y estacionarios.

Sabemos que $T_{\Lambda}^{n}$ es un tiempo de parada para $n=1,2,...$ y teniendo en cuenta que $T_{\Lambda}^{1} > 0$ a.s (por el hecho de que $0 \notin \Lambda $ y el proceso es un proceso de cadlag), tenemos $P( T_{\Lambda}^{1} > 1/m ) > 0$ para cada $m \in \mathbb{N} \setminus \lbrace 0 \rbrace $ .

Ahora, para cada $m \in \mathbb{N} \setminus \lbrace 0 \rbrace $ deje $A_{n}^{(1/m)} := \lbrace T_{\Lambda}^{n}- T_{\Lambda}^{n-1} > 1/m \rbrace$ (con $A_{1}^{(1/m)} := \lbrace T_{\Lambda}^{1} > 1/m \rbrace$ ) , por la suposición que tenemos de que $\sum_{n=1}^{\infty} P(A_{n}^{(1/m)})= \lim_{n \to \infty} nP(A_{1}^{(1/m)}) = \infty$ . Por lo tanto, por el teorema de Borel Cantelli obtenemos que $ P(\varlimsup_{n \to \infty} A_{n}^{(1/m)} ) = 1 $ para cada $m$ . Por lo tanto, utilizando el teorema de convergencia monótona para $(\varlimsup_{n \to \infty} A_{n}^{(1/m)})_{m \geq 1}$ deberíamos obtener el resultado.

Agradecería mucho cualquier pista.

Answer 1

En realidad, la afirmación es una consecuencia directa del hecho de que los procesos de Lévy tienen trayectorias muestrales càdlág. Recordemos la siguiente afirmación elemental

Lema Si $f: [0,\infty) \to \mathbb{R}$ es una función càdlàg, entonces $$\sharp\{t \in [0,T]; |\Delta f(t)| \geq \epsilon\} < \infty$$ para cualquier $\epsilon>0$ y $T>0$ .

Utilizando esta afirmación se puede deducir fácilmente que la secuencia de tiempos de parada converge casi con seguridad al infinito.

Desde $0 \notin \bar{\Lambda}$ existe $\epsilon>0$ tal que

$$\Lambda \subseteq B :=\{x \in \mathbb{R}; |x| \geq \epsilon\}.$$

Supongamos ahora que $\lim_{n \to \infty} T_{\Lambda}^n(\omega)<\infty$ para algunos $\omega \in \Omega$ . En $\Lambda \subseteq B$ Esto implica $T:=\lim_{n \to \infty}T_B^n(\omega)<\infty$ en particular, $$\sharp\{t \in [0,T]; |\Delta X_t(\omega)| \geq \epsilon\} = \infty.$$ Del lema anterior se deduce que $\omega \mapsto X_t(\omega)$ no es càdlàg. Puesto que $(X_t)_{t \geq 0}$ tiene casi seguro càdlàg trayectorias muestrales concluimos

$$\mathbb{P}(\lim_n T_{\Lambda}^n < \infty) \leq \mathbb{P}(t \mapsto X_t \, \, \text{is not càdlàg}) = 0.$$