Gale famosamente mostró que la determinabilidad de Hex de n jugadores y n dimensiones es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer en n dimensiones.
Podemos (y Gale lo hace) ver esto como si dijéramos que si se colorean con d los vértices de un cierto grafo en concreto, el grafo con conjunto de vértices $[n]^d$ y dos vértices $v, w$ adyacentes si la norma máxima de $v - w$ es 1 y todos los componentes no nulos de $v - w$ tienen el mismo signo entonces hay un cierto camino monocromático. Alternativamente, puedes pensar en d-colorear un d-dimensional $n \times \ldots \times n$ cubo, y la determinabilidad del punto fijo de Hex/Brouwer dice que debe existir un cierto "camino torcido".
Esto es lo que quiero saber:
¿Existe una prueba topológica de la versión de densidad de la determinación de Hex?
La versión de la densidad se deriva de la densidad Hales-Jewett ya que las líneas combinatorias son caminos en el grafo subyacente. Pero la densidad de Hales-Jewett es difícil, y esto parece que debería admitir una prueba del tipo de la de Gale.
Lo que quiero decir con la "versión de densidad" es: para cualquier $\delta > 0$ y n fijo, para una dimensión d suficientemente grande cualquier elección de $\delta n^d$ los movimientos deben conectar dos lados opuestos del hipercubo/tablero hexagonal dimensional. (Estoy bastante seguro de que esta es la afirmación correcta, pero es posible que me equivoque. Avísame si por alguna razón esto es totalmente trivial o falso).
