La siguiente pregunta me ha llevado contra la pared: sea p un polinomio complejo de grado d. Supongamos que |p(z)|1 para todo z tal que |z|=1 y |z-1| (para algún >0 pequeño). Entonces, ¿cuál es el mejor límite superior que se puede demostrar en |p(1)|? (Sólo me importa la dependencia asintótica de d y , no las constantes).
Para la pregunta análoga donde p es un grado-d real polinomio tal que |p(x)|≤1 para todo 0≤x≤1-δ, sé que el límite superior derecho de |p(1)| es |p(1)|exp(d√). El ejemplo extremo aquí es p(x)=T d ((1+δ)x), donde T d es la d th Polinomio de Chebyshev.
En efecto, utilizando el polinomio de Chebyshev, no es difícil construir un polinomio p en z así como su conjugado complejo z* tal que
(i) |p(z)|1 para todo z tal que |z|=1 y |z-1|, y
(ii) p(1) ~ exp(d).
También se puede demostrar que esto es óptimo, para polinomios tanto en z como en su conjugado complejo.
La cuestión es si se puede obtener un mejor límite superior en |p(1)| explotando el hecho de que p es realmente un polinomio en z. El ejemplo de crecimiento más rápido que he podido encontrar tiene la forma p(z)=C d,δ (1+z) d . Aquí, si elegimos la constante C d,δ de modo que |p(z)|1 siempre que |z|=1 y |z-1|, encontramos que
p(1) ~ exp(d 2 )
Para mi aplicación, la diferencia entre exp(d) y exp(d 2 ) ¡es toda la diferencia del mundo!
He buscado unos 6 libros de teoría de la aproximación y como suele ocurrir, responden a todas las preguntas imaginables excepto a la que yo quiero. Si alguien versado en teoría de la aproximación me puede dar un puntero, estaría increíblemente agradecido.
¡Muchas gracias! --Scott Aaronson
PS. La pregunta la responde a continuación David Speyer. Para quien quiera ver explícitamente el polinomio implicado por el argumento de David, aquí está:
p d,δ (z) = z d T d ((z+z -1 )(1+δ)/2+δ),
donde T d es la d th Polinomio de Chebyshev.
