¿Transformar una matriz en una matriz definida positiva?

Question

Mientras leía esto artículo Me encontré con lo siguiente:

$[C]$ es una matriz simétrica y no definida positivamente. Sin embargo, una matriz definida positiva $[C']$ puede obtenerse mediante la ecuación

$[C'] = [\phi]*[\lambda '] * [\phi]^{T}$

$[\phi]$ es la matriz cuadrada formada por los vectores propios de $[C]$ . $[\lambda ']$ es la matriz diagonal que contiene los valores propios de $[C]$ sin embargo, todos los valores propios negativos se fijan en cero.

El resultado es la matriz $[C']$ que es definida positiva.

¿Por qué funciona?

Answer 1

A continuación utilizaré las notaciones estándar.

Digamos que nuestra matriz en cuestión es $A$ y tiene los vectores propios $v_1, v_2,...,v_n$ con los correspondientes valores propios $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ . Entonces podemos escribir (ya que esta es la definición de valores propios y vectores propios) para cada $i\in[1,n]$ :

$$ A\cdot v_i = \lambda_i\cdot v_i $$

(véase https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue#Overview ).

Si tomamos la matriz $V$ donde cada columna es un $v_i$ podemos escribir

$$ A\cdot V = V\cdot diag(\lambda) $$

donde $diag(\lambda)$ es la matriz diagonal, donde todas las $\lambda_i$ están en la diagonal.

$V$ es un matriz ortogonal lo que significa que sus columnas y filas son ortogonales entre sí, por lo que (con $I$ que es la matriz de identidad)

\begin{align} V^{T}\cdot V &= I\\ V^{T} &= V^{-1} \end{align}

Así que podemos escribir

\begin{align} A\cdot V &= V\cdot diag(\lambda)\\ A &= V\cdot diag(\lambda)\cdot V^{-1} = V\cdot diag(\lambda)\cdot V^{T} \end{align}

Véase también https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_matrix#Decomposition el punto de que una matriz simétrica compleja puede diagonalizarse por congruencia unitaria.

En este caso, los autores modificaron $diag(\lambda)$ y reconstruir todo para $A'$ .

Una alternativa viene dada por http://animalbiosciences.uoguelph.ca/~lrs/ELARES/PDforce.pdf