Sea $f$ y $g$ formas bilineales en un espacio de dimensión finita $V$ . Supongamos que $g$ es no degenerado. Demostrar que sólo hay operadores ${T_1}:V \to V$ y ${T_2}:V \to V$ tal que $$f\left( {u,v} \right) = g\left( {{T_1}\left( u \right),v} \right) = g\left( {u,{T_2}\left( v \right)} \right),\quad \forall u,v \in V.$$ Muestre un contraejemplo a la afirmación anterior en el que $f$ es no degenerado, $g$ es degenerada y no hay $T_1$ satisfaciendo $f\left( {u,v} \right) = g\left( {{T_1}\left( u \right),v} \right)$ para todos $u,v\in V$ .
Respuesta
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Estamos en dimensión finita. Tomemos una base y consideremos las dos matrices simétricas $F$ y $G$ tal que $f(u,v)=U^TFV$ y $g(u,v)=U^TGV$ donde $U$ y $V$ son las columnas de coordenadas de $u$ y $v$ .
$g$ Es no degenerado si y sólo si $G$ es invertible
Tenemos
$$\begin{align}U^TFV=& \left(G^{-1}FU\right)^TGV\\ =&U^TG\left(G^{-1}FV\right) \end{align} $$
Y hemos terminado con $T_1=T_2=G^{-1}F$
