Cómo solucionar $y^2=3x^4+3x^2+1$ para los números enteros.

Question

Si $x,y \in \mathbb Z$ , buscar todas las soluciones de
$$y^2=3x^4+3x^2+1$$

Me preguntó esto por mi amigo, que dijo que se encontró con esta mientras que la solución de otro problema. He intentado varias cosas pero soy incapaz de resolver esta cuestión. Por otra parte, esto tiene que ser hecho usando métodos de primaria solamente. Hasta ahora, he tratado de factorizar y el uso de la ecuación de Pell. Al final, me voy a
$$2y_{n} + (2x^2_{n}+1)\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{n}$$

donde $n \in \mathbb Z^{+}$

Pero yo no soy capaz de averiguar cómo mostrar una contradicción a partir de aquí. Puede alguien por favor me ayude a salir?
Gracias.

Answer 1

Las únicas soluciones son $(x,y)=(0,-1)$$(x,y)=(0,+1)$. Me dio una primaria de la prueba aquí.

Answer 2

Esto no inmediatamente responder a su pregunta, pero aquí es cómo iba a acercarse a ella. Deje $X = 4 y$$Y = 2 x^2 + 1$. Entonces existe enteros $x, y$ satisfacción $y^2 = 3 x^4 + 3 x^2 + 1$ si existe un entero solución de $(X, Y)$ a $$X^2 - 12 Y^2 = 4$$ satisfying $4 \a mediados de X$ and $S$ is odd of the form $2 x^2 +1$. We know the fundamental solution is $(X, Y) = (4, 1)$. The other solutions can be generated by the polynomials $f_n(X)$ and $g_n(X)$ by $(X_n , Y_n) = (f_n(X), Y g_n(X))$, where $f_{-1}(X) = X$, $f_0(X) = 2$, $g_{-1}(X) = -1$, $g_0(X) = 0$, $$f_{n+1} = X f_{n} - f_{n-1},$$ $$g_{n+1} = X g_{n} - g_{n-1},$$ and of course $X = 4$, $Y = 1$. It is easy to show that $n$ must be odd. Now define $F_1 = 1$, $F_3 = X + 1$, $$F_{2 k + 3} = X F_{2 k + 1} - F_{2 k - 1}.$$ These are incidentally a lot like cyclotomic polynomials. Check that $F_n(X^2 - 2) = g_n(X)$. Your question requires $\frac{F_n(14) -1}{2}$ to be a perfect square. Congruences of $\frac{F_n(14) -1}{2}$ modulo primes can show that the odd number $n$ must satisfy certain congruence conditions. If $y^2 = 3 x^4 + x 3^2 + 1$ has a solution $\no= (0, 1)$, then it must be huge, much larger than $10^7$.