Actualmente estoy trabajando en el hermoso documento de Frenkel: http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0512/0512172v1.pdf . Estoy buscando un buen ejemplo de curva proyectiva para ensuciarme las manos, y repasar las construcciones generales que Frenkel muestra allí e intentar hacerlas manualmente para este ejemplo de curva. ¿Hay algún buen ejemplo instructivo para hacer esto? (¿O siempre se nos va de las manos muy rápidamente?)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Por desgracia, no creo que Langlands geométrica es muy fácil en cualquier curva. La única curva donde los objetos son fácilmente accesibles es $P^1$ pero incluso en este caso la afirmación general es un poco tramposa (véase la nota de Lafforgue aquí ). Yo buscaría en los escritos de Frenkel sobre el modelo de Gaudin, que es una ilustración concreta del enfoque Beilinson-Drinfeld-Feigin-Frenkel de las Langlands geométricas para $P^1$ con varios pinchazos. También Arinkin y Lysenko elaboraron explícitamente un caso de Langlands geométrico (en un sentido más fuerte) sobre $P^1$ menos 4 puntos -- ver los cuatro primeros documentos en una búsqueda mathscinet de Arinkin. Así que la respuesta es intentar $P^1$ con algunos pinchazos, pero no te sorprendas si las cosas ya están bastante complicadas allí.
(También creo que Langlands geométrica en una curva elíptica debe ser accesible, pero por lo que yo que yo sepa no se ha trabajado muy explícitamente).
sheetansh
Puntos
1
Es una pregunta que nos hacíamos hace unos 10 años :)
Nuestra respuesta - $P^1$ con nodos y cúspides (y singularidades más generales) son muy buenos ejemplos para hacerlo. En realidad, la respuesta está motivada por "Algebraic groups and algebraic class fields ..." de Serre, donde trabaja con Jacobiones generalizados y Langlands abelianos (es decir, teoría de campos de clases).
Nos referimos a la parte del Langlands que trata los módulos-D de Hitchin (estos NO son todos Hecke-eigensheves).
En artículos con Dmitry Talalaev describimos el sistema clásico de Hitchin en tales curvas. http://arxiv.org/abs/hep-th/0303069 Sistema de Hitchin en curvas singulares I
http://arxiv.org/abs/hep-th/0309059 - aquí hay singularidades más generales
El segundo paso consistió en cuantizar los hamiltonianos de Hitchin. En realidad es lo mismo que cuantizar los hamiltonianos de Gaudin. Receta ingenua - funciona sólo para sl(2), sl(3) - http://arxiv.org/abs/hep-th/0404106
El avance que encontró Dmitry Talalaev http://arxiv.org/abs/hep-th/0404153 Cuantización del sistema Gaudin
cómo hacer DOS cosas simultáneamente, propuso una hermosa fórmula para:
1) Todas las Hamiltonionas cuánticas de Hitchin (Gaudin) (posteriormente generalizadas a todo el centro de la envolvente universal para el álgebra de bucles).
2) Al mismo tiempo da el GL-oper explícitamente (además da "universal" GL-oper lo que significa que sus coeficientes son hamiltonianos cuánticos de Hitchin (Gaudin), pero no números complejos). Fijando valores de los hamiltonianos de Hitchin obtenemos la GL-opera de valor complejo, que corresponde por Langlands a estos hamiltonianos de Hitchin. Así que la correspondencia de Langlands: Hitchin D-módulo -> GL-oper se hace muy explícita.
3) Su fórmula hace explícita la idea de que "GL-oper es cuantización de la curva espectral"
Hasta cierto punto, esto resuelve las preguntas sobre los Laglands para el sistema de GL-Hitchin. No hemos escrito la prueba de la "Hecke-eigenvaluedness" de los módulos-D de Hitchin. Pero parece que es bastante claro (puede que no sea la palabra correcta), si se toma el punto de vista apropiado sobre las transformaciones de Hecke - como en el artículo de A. Braverman, R. Bezrukavnikov http://arxiv.org/abs/math/0602255 Correspondencia geométrica de Langlands para módulos D en característica primera: el caso GL(n)
Una de las ideas clave es que se puede hacer todo en el "límite clásico" y luego cuantizar. Funcionaron para campos finitos - así que pueden usar algún truco para pasar de lo clásico a lo cuántico, sobre números complejos tenemos fórmulas explícitas de Talalaev, así que deberían hacer lo mismo.
Permítanme mencionar también que las transformaciones de Hecke también se conocen como transformaciones de Backlund en integrabilidad y los artículos relevantes son:
http://arxiv.org/abs/nlin/0004003 Transformaciones de Backlund para sistemas integrables de dimensión finita: un enfoque geométrico V. Kuznetsov, P. Vanhaecke
http://arxiv.org/abs/nlin/0110045 Sistemas de Hitchin - Correspondencia simpléctica de Hecke y versión bidimensional A.M. Levin, M.A. Olshanetsky, A. Zotov
Sería un proyecto muy bonito a considerar desde este punto de vista $P^1$ con cúspide, la cotangente al espacio de moduli de los haces vectoriales es $[X,Y]=0/GL(n)$ , lo mismo que se considera en el artículo de Etingof Ginzburg
http://arxiv.org/abs/math/0011114 Álgebras de reflexión simplécticas, espacio de Calogero-Moser y homomorfismo deformado de Harish-Chandra
Estaría muy bien (y debería ser sencillo) describir explícitamente las transformaciones Hecke-Bacclund y su acción sobre el sistema CalogeroMoser, etc...
sheetansh
Puntos
1
El espacio de Mosuli de haces SL_2 sobre cualquier curva de género 2 - es P^3 según Narashimhan y Ramanan. Así que trabajar con P^3 debería ser accesible, pero puede no ser tan fácil como parece...
El sistema Hitchin clásico ha sido descrito por van Geemen, Previato, Gawedzki, et. al.
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9410015
http://arxiv.org/abs/solv-int/9710025
Los hamiltonianos cuánticos deberían figurar en el documento de Geemen de Jong: http://arxiv.org/abs/alg-geom/9701007
Así que uno tiene que 1) Cuantificar ( se puede hacer) que 2) Hacer la transformación de Hecke y ver que el resultado es como se predijo por Beilison y Drinfeld - producto de Hitchin inicial D-módulo en D-módulo dar por SL_2-oper.
Si pensara en esto intentaría hacer lo siguiente:
1) hallar la matriz Lax L(z) - podría ser realizada por Gawedzki, et.al.
2) tratar de adivinar cuál es la "curva espectral qauntum" "det"(d/dz - L(z)) - que da tanto hamiltonianos cuánticos Hitchin y SL_2-oper (esto hecho por Talalaev para Gaudin-Hitchin para P^1 http://arxiv.org/abs/hep-th/0404153 )
3) intentar demostrar que la transformación de Hecke concuerda con la "curva espectral qauntum"
Al igual que en el post anterior, sugiero encarecidamente utilizar un punto de vista realista sobre la transformación de Hecke.
De este modo, se puede demostrar que el módulo D de Hitchin es un módulo propio de Hecke con un "valor propio" dado por la curva espectral cuántica SL_2-oper (módulo D en curva básica).
La consideración de otros eigensheaves de Hecke (no los de Hitchin) es otra historia...
En nuestro documento http://arxiv.org/abs/hep-th/0303069 describimos el sistema clásico de Hitchin para la curva degenerada de género 2 y^2 = (x-a)^3 (x-b)^3. Sin embargo, no comprobamos que nuestros "análogos" de las coordenadas de Narashimhan-Ramanan sean realmente límites de las coordenadas de Narashimhan-Ramanan verdaderas, por lo que puede no ser muy útil. Además, la fórmula de Talalaev no puede aplicarse directamente a la matriz de Lax en estas coordenadas. Depende de las coordenadas, es un problema solucionable pero requiere cierto trabajo.
