Cómo demostrar o refutar afirmaciones sobre conjuntos

Question

Demostrar o refutar:

1. El decorado: $\{ \emptyset\}^{\Bbb N}$ sólo tiene un elemento.

2. El conjunto $\emptyset^{\Bbb N}$ está vacía.

Estoy bastante seguro de que ambas cosas son ciertas, ya que 1. todos los números naturales van al conjunto vacío y ese es el único elemento. Mientras que 2. todos los números naturales van a la nada por eso está vacío. (Igual que $ {\Bbb N}^{\emptyset} $ nada va a algo es nada (creo)).

El problema es que no tengo ni idea de cómo mostrarlo, así que agradecería cualquier consejo.

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Editar: Mi definición de una función es:

$f:B\to A$ si $(a_1,b),(a_2,b)\in f \ \Rightarrow \ a_1=a_2$

Así que por 2. Puedo decir simplemente que: $(1,\emptyset),(2,\emptyset)\in f \Rightarrow a_1\neq a_2$ ?

Answer 1

Para la primera, toma dos funciones y demuestra que son iguales. Recuerda que dos funciones con el mismo dominio son iguales si y sólo si dan el mismo resultado para cada punto de ese dominio.

Para la segunda debes recordar la definición de función y concluir que no existen funciones desde un conjunto no vacío al conjunto vacío.

Answer 2

En 1. considera correctamente el mapa constante que asigna el conjunto vacío (visto como el único miembro de su codominio $\{\emptyset\}$ ) a cada número natural. En 2. el codominio es el conjunto vacío, no el conjunto cuyo único miembro es el conjunto vacío, por lo que no se puede asignar ningún valor a ningún punto del dominio, por lo tanto no hay función. Tenga en cuenta que $\mathbb{N}^\emptyset$ es en realidad el singleton, ya que contiene la llamada "función vacía".