Cada categoría admite un topología de Grothendieck, llamada canónica, que es la topología más fina que convierte a los funtores representables en haces.
¿Existe una descripción concreta de la topología canónica en la categoría de esquemas? Según los resultados de Grothendieck sobre descentralización, esta es al menos tan fina como la topología fpqc, pero ni siquiera sé si las dos coinciden realmente. Si no es así, ¿qué se sabe al respecto?
Proposición 3.4 en el papel de Orlov
Fibras cuasicohereentes en geometría conmutativa y no conmutativa. (Ruso) Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. 67 (2003), no. 3, 119-138; traducción en Izv. Math. 67 (2003), no. 3, 535-554.
describe la topología canónica y los epimorfismos estrictos universales en la categoría de esquemas afines. En el mismo papel, Orlov caracteriza las fibras cuasicohereentes en el pequeño sitio de Zariski en términos de la topología canónica. También estudia una importante topología subcanónica - la topología de descenso efectiva - que parece ser más fina que la topología plana.
Siguiendo las respuestas dadas por Pantev, te daré más ejemplos de la topología canónica en algunas categorías (epimorfismos estrictos universalmente)
Si C es una categoría abeliana o un topos, entonces la topología canónica consiste en todos los epimorfismos. Si C es una categoría cuasi abeliana, entonces la topología canónica consiste en todos los epimorfismos estrictos (nota que el epimorfismo estricto es subcanónico en general)
Si C es una categoría de álgebras k-unital asociativas (categoría opuesta de esquemas afines, no necesariamente conmutativos). La topología canónica consiste en todos los epimorfismos estrictos que son precisamente morfismos sobreyectivos de álgebras. En este caso, el epimorfismo estricto universal coincide con el epimorfismo estricto.
Rosenberg tiene un tratamiento muy detallado para una categoría y 2-categoría (consideradas como la categoría de espacios) con topología canónica (él la llama estructura exacta derecha). Se encuentra en la serie de prepublicaciones del MPIM, "Álgebra homológica de 'espacios' no conmutativos I"
Lo que mencionó Pantev está relacionado con mis respuestas en otra pregunta: ¿La extensión de haces preserva haces para una topología diferente?
La topología de descenso efectivo es más fina que la topología fpqc, la topología fppf, la topología suave (en el sentido de Kontsevich-Rosenberg)
La topología de descenso en la categoría de esquemas afines (no necesariamente conmutativos) coincide con la topología subcanónica
La referencia es el artículo de Orlov y la serie de prepublicaciones del MPIM de Kontsevich-Rosenberg. Stack no conmutativo y Grassmanniano no conmutativo y construcciones relacionadas
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