Trigonometría dentro de un trapecio

Question

Tengo la siguiente imagen, y se le pide que encuentre los valores de $X$ et $Y$ .

He conseguido encontrarlo usando esta idea: Dividamos la imagen en dos triángulos rectángulos y llamemos a la altura del trapecio $H$ .

El cateto opuesto del triángulo izquierdo tiene una longitud de $\frac{H}{\tan{60^{\circ}}}$ y el cateto opuesto del triángulo rectángulo es $\frac{H}{\tan{30^{\circ}}}$ .

La suma de estos dos catetos tiene que ser igual a $12$ en esta suma, podemos suponer que la altura $H = 3\sqrt{3}$ .

Aplicando funciones trigonométricas en ambos triángulos, conseguí encontrar que $X = 6, Y = 6\sqrt{3}$

Pero un amigo mío ha encontrado $X = 8, Y = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ y lo hizo de una manera completamente diferente a la mía.

¿Cuál es la correcta?

Answer 1

Después de la construcción de la línea paralela roja, el problema se vuelve más fácil

Answer 2

Llama a la parte inferior izquierda del triángulo rectángulo izquierdo $\;x\;$ de modo que $\;X=2x\;,\;\;H=\sqrt3x\;$ y por tanto en el triángulo rectángulo tenemos que el cateto inferior es $\;3x\;$ y su hipotenusa es $\;2\sqrt3 x\;$ .

Sumando los dos tramos inferiores anteriores obtenemos

$$x+3x=4x=12\implies x=3\implies \begin{cases}X=6\\{}\\Y=2\sqrt3\cdot3=6\sqrt3\end{cases}$$

y lo anterior sólo utiliza la geometría euclidiana básica.

Answer 3

La forma más sencilla de resolver este problema es crear tres triángulos rectángulos: dos del interior del trapecio y uno del exterior.

los dos interiores se crearán trazando dos líneas hacia abajo y perpendiculares al tramo superior de 8 cm. Esto te dará dos triángulos rectángulos con un rectángulo entre ellos.

Answer 4

Puedes prescindir de encontrar a H. $B$ et $b$ sean las dos bases del trapecio. Entonces $$\frac 1 2 X+\frac {\sqrt 3}{2}Y=B-b \\\frac{\sqrt 3} 2 X = \frac 1{2}Y.$$ Seguro que puedes resolver este sistema.

Answer 5

Si sólo cortas ocho centímetros de la parte superior y de la inferior, entonces tienes un $30^\circ{-}60^\circ{-}90^\circ$ triángulo cuya hipotenusa tiene una longitud de 12 centímetros. Por lo tanto, su cateto más corto debe tener una longitud de 6 centímetros, y entonces el otro cateto se puede encontrar a través de Pitágoras.