$|X_n|\implies |X|$ implica $\mathbb{P}[|X_n|>t]\to\mathbb{P}[|X|>t]$ para todos menos para un número contable > $t$ .

Question

Estaba leyendo una demostración del teorema (" $\implies$ "es la convergencia débil de variables aleatorias)

Si $X_n\implies X$ entonces $\mathbb{E}|X|\le\liminf_n E|X_n|$

que empieza diciendo

Por el teorema del mapa, $|X_n|\implies |X|$ y, por lo tanto $\mathbb{P}[|X_n|>t]\to\mathbb{P}[|X|>t]$ para todos los $t$ .

Me preguntaba por qué. Estos son mis pensamientos : Si $\mu_n(A)=\mathbb{P}(X_n\in A)$ es la distribución de la variable aleatoria, por el lema de portemanteau, tenemos $\mathbb{P}[|X_n|>t]=\mu_n((t,\infty))\to\mu((t,\infty))=\mathbb{P}[|X|>t]$ si $(t,\infty)$ es un conjunto de continuidad. Tenemos $\partial(t,\infty)=\{t\}$ por lo que tenemos que demostrar que $\mathbb{P}(|X|=t)=0$ para todos los $t$ . Esto se debe a que si $P(|X|=t)>0$ para incontables $t$ entonces la probabilidad de todo el espacio sería infinita tan diferente de 1.

¿Está bien verlo así?

Answer 1

La declaración $X_n \Longrightarrow X$ es equivalente a $F_{X_n}(x) \to F_{X}(x)$ puntualmente, para todos los puntos $x$ en el que $F_X$ es continua. Dado que $F_X$ es monótona, tiene a lo sumo un número contable de discontinuidades, por lo que $F_{X_n}(x) \to F_{X}(x)$ puede fallar para un número contable de $x \in \mathbb{R}$ .

Desde entonces, $P(|X| > t) = 1 - F_{|X|}(t)$ lo mismo ocurre aquí.