Los modelos finitos son atómicos

Question

Quiero demostrar que cualquier modelo finito es atómico. Para demostrarlo, basta con mostrar que cualquier tipo realizado en un modelo finito es principal (aislado).

Sea $T$ ser una teoría, $\mathcal{A}$ un modelo finito de $T$ y $p$ un tipo realizado en $\mathcal{A}$ . ¿Cómo podemos demostrar que $p$ ¿es principal?

Si $T$ se supone completa, entonces podemos demostrar que $T$ es absolutamente categórico, por lo que $p$ se realiza en todos los modelos de $T$ y, por tanto, está aislado. Pero, ¿cómo demostrar esto sin suponer $T$ ¿Completar? Gracias

Answer 1

Supongamos que el lenguaje es finito. Dado que $\mathcal{A}$ es finita, existe una frase $\varphi_{\mathcal{A}}$ que describe $\mathcal{A}$ de forma única hasta isomorfismo. Así que $\varphi_\mathcal{A}$ axiomatiza una extensión completa absolutamente categórica $T_\mathcal{A}$ de $T$ . En relación con $T_\mathcal{A}$ cualquier tipo $p(x)$ realizado en $\mathcal{A}$ se aísla mediante una fórmula $\psi_p(x)$ . Entonces la fórmula $\varphi_{\mathcal{A}}\land \psi_p(x)$ aísla $p$ en relación con $T$ .

Si el lenguaje no es finito, no es cierto que los modelos finitos sean atómicos. Por ejemplo, consideremos el lenguaje con un número contable de símbolos de relación unarios $\{P_i\mid i\in \omega\}$ y que $T$ sea la teoría vacía. Una fórmula $\psi(x)$ sólo puede mencionar un número finito de $P_i$ y $T$ no menciona ninguna de las $P_i$ Así que $T\cup \{\psi(x)\}$ no puede aislar el tipo completo de $x$ (que debe decidir si $P_i(x)$ es válida para todos los $P_i$ no mencionada por $\psi$ ).

Answer 2

A (completo) $n$ -no es más que una teoría completa sobre el lenguaje extendido donde se adjunta $n$ nuevos símbolos constantes, y un modelo junto con una realización del tipo es sólo un modelo de la teoría completa en el lenguaje extendido. Así pues, basta con demostrar que cualquier teoría completa (sobre un lenguaje finito) que tenga un modelo finito está generada por un único axioma. Esto es fácil: basta con escribir un axioma que describa completamente su modelo finito hasta el isomorfismo.

(Como muestra la respuesta de Alex Kruckman, sí es necesario suponer que el lenguaje es finito).