¿Existe algún tipo de relación entre la descomposición SVD y la diagonalizabilidad?

Question

Si $L$ es un operador lineal que actúa sobre un espacio de hilbert $H$ de dimensión $n$ ( $L: H \to H$ ), entonces sé lo siguiente

1. Si $L$ es un operador normal entonces en alguna base ortonormal $B$ representación matricial de $L$ , $[L]_{B}$ será una matriz diagonal.
2. Si la suma de las dimensiones de los espacios propios de $L$ es igual a $n$ entonces en alguna representación matricial de base no ortonormal de $L$ es diagonal.
3. En general, para cualquier $L$ si su representación matricial en una base $B$ es $[L]_B$ entonces $[L_B] = UDV$ donde $U,V$ son matrices unitarias y $D$ una matriz diagonal.

Puedo ver ese punto $1$ et $2$ son lo mismo, es decir, si $L$ es el operador normal. ¿Existe alguna otra relación entre la descomposición SVD y la diagonalizabilidad?

Answer 1

Creo que la mejor manera de describir la relación entre la SVD de una matriz (utilizaré simplemente $A$ ) y la diagonalizabilidad, y lo que hace posible que toda matriz tenga una SVD, es porque está más estrechamente relacionada con la eigendecomposición de $AA^*$ et $A^*A$ (estas matrices son semidefinidas positivas y, por tanto, siempre son diagonalizables unitariamente) que a $A$ mismo. Obsérvese que para $A=UDV$ tenemos \begin{equation} AA^*=UDVV^*D^*U^*=UD^2U^*\end{equation} y de forma similar tenemos $A^*A=V^*D^2V$ . Así que $D$ es en realidad la raíz cuadrada de los valores propios de $AA^*$ et $A^*A$ . Además $U$ consiste en vectores propios para $AA^*$ y de forma similar $V$ consiste en vectores propios para $A^*A$ .

Answer 2

Para cualquier matriz normal, podemos obtener una SVD a partir de cualquier descomposición espectral (es decir, diagonalización ortonormal).

Sea $L$ ser normal. Existe una matriz unitaria (cambio de base ortonormal) $V$ tal que $L = VDV^*$ donde $$ D = \pmatrix{\lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n} $$ Con $\lambda_k \in \Bbb C$ . Definimos la función $$ \operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|} & x \neq 0\\ 1 & x = 0 \end{cases} $$ Escribimos entonces $D = U'\Sigma$ donde $$ U' = \pmatrix{ \operatorname{sgn}(\lambda_1)\\ &\ddots\\ && \operatorname{sgn}(\lambda_n) }, \quad \Sigma = \pmatrix{ |\lambda_1|\\ & \ddots \\ &&|\lambda_n| } $$ Así, tenemos $L = VU'\Sigma V^*$ . Defina $U = VU'$ . Tenga en cuenta que $U$ es el producto de una matriz unitaria y, por tanto, es a su vez unitaria. De ello se deduce que $L = U\Sigma V^*$ es una SVD de $L$ .

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Si la matriz no es normal, entonces no existe tal directo conexión entre diagonalización y SVD. Es decir, sólo lo que podemos hacer con cambios de base ortonormales nos permite deducir la SVD.

Sin embargo, tenemos algunas relaciones generales interesantes entre los valores propios y los valores singulares. Supongamos que $s_1,\dots,s_n$ son los valores singulares en orden decreciente y $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ son los valores propios en orden de magnitud decreciente. Entonces el teorema del mayorante de Weyl (Bhatia "Matrix Analysis", p. 42) afirma, entre otras cosas, que para cualquier $p \geq 0$ et $k = 1,\dots,n$ tenemos $$ \prod_{j=1}^k |\lambda_j| \leq \prod_{j=1}^k s_j \\ \sum_{j=1}^k |\lambda_j|^p \leq \sum_{j=1}^k s_1^p $$