La inclusión de la componente conectada al camino induce un isomorfismo entre grupos fundamentales.

Question

Entonces, se me presenta un ejercicio que dice: Demostrar que si $X_0 \subset X$ es el componente conectado a la trayectoria de que contiene $x_0$ entonces la inclusión $i: X_0 \to X$ induce un isomorfismo entre $\pi_1(X_0,x_0)$ y $\pi_1(X,x_0)$

Mi problema es que esto parece bastante trivial, tomar $\phi([f])=[i\circ f]$ después de comprobar que está bien definido se puede ver fácilmente que es inyectivo.

Y es suryectiva porque dado $[f] \in \pi_1(X,x_0)$ , tienes que $f$ es un bucle que comienza en $x_0$ por lo que su imagen debe estar en $X_0$ porque puede conectar todos los elementos de $f([0,1])$ a $x_0$ por $f$ . Así que definir $g:[0,1] \to X_0$ como $g(t)=f(t)\, \forall t\in [0,1]$ . Entonces $i\circ g=f$ y $[i\circ g]=[f]$ .

Entonces, mi pregunta es, ¿está bien este razonamiento? Quiero decir, a parte de algunas formalidades esto es bastante trivial, así que o es eso, o estoy haciendo algo mal o me estoy perdiendo algo. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Esta solución wiki comunitaria pretende despejar la pregunta de la cola de preguntas sin respuesta.

Sí, su argumento es correcto.