Estoy resolviendo el siguiente problema de integración. Obtuve dos resultados cuando seguí dos métodos diferentes. Sé que uno es incorrecto, pero no estoy seguro de dónde está mi error. Pido a alguien que me ayude a encontrar el error.
$$\int \frac{{\mathrm d}x}{e^x+4e^{-x}}$$
Solución 1: (Incorrecta)
$$\int \frac{{\mathrm d}x}{e^x+4e^{-x}}=\int \frac{{\mathrm d}x}{e^x(1+4e^{-2x})}=\int \frac{{e^{-x}\mathrm d}x}{(1+4e^{-2x})}=\int \frac{{e^{-x}\mathrm d}x}{1+\left (2e^{-x}\right )^2}$$ Sustituyendo $u=2e^{-x}$ obtenemos ${\mathrm d}u = -2e^{-x}{\mathrm d}x$ por lo que podemos escribir
$$\int \frac{{\mathrm d}x}{e^x+4e^{-x}}=\int \frac{{e^{-x}\mathrm d}x}{1+\left (2e^{-x}\right )^2}=-\frac{1}{2}\int \frac{{-2e^{-x}\mathrm d}x}{1+\left (2e^{-x}\right )^2}=-\frac{1}{2}\int \frac{{\mathrm d}u}{1+u^2}=-\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(u\right)+C$$ $$\int \frac{{\mathrm d}x}{e^x+4e^{-x}}=-\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(2e^{-x}\right)+C=-\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{2}{e^{x}}\right)+C$$
Solución 2: (Correcta)
$$\int \frac{{\mathrm d}x}{e^x+4e^{-x}}=\int \frac{{\mathrm d}x}{4e^{-x}\left ( \frac{e^{2x}}{4}+1 \right )}=\frac{1}{4}\int \frac{e^{x}{\mathrm d}x}{ \frac{e^{2x}}{4}+1 }=\frac{1}{4}\int \frac{e^{x}{\mathrm d}x}{\left ( \frac{e^{x}}{2}\right )^2+1 }$$ Sustituyendo $u=\frac{1}{2}e^{x}$ obtenemos ${\mathrm d}u = \frac{1}{2}e^{x}{\mathrm d}x$ por lo que podemos escribir
$$\int \frac{{\mathrm d}x}{e^x+4e^{-x}}=\frac{1}{4}\int \frac{e^{x}{\mathrm d}x}{\left ( \frac{e^{x}}{2}\right )^2+1 }=\frac{1}{2}\int \frac{{\left( \frac{e^{x}}{2} \right)\mathrm d}x}{\left ( \frac{e^{x}}{2}\right )^2+1}=\frac{1}{2}\int \frac{{\mathrm d}u}{u^2+1}=\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(u\right)+C$$ $$\int \frac{{\mathrm d}x}{e^x+4e^{-x}}=\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{e^{x}}{2}\right)+C$$
