Comprender la demostración del Teorema de Green

Question

En una demostración del teorema de Green en la que primero suponemos que el área delimitada por una zona cerrada $C^1$ curva $\gamma$ es de la siguiente forma: $$D = \{ (x,y) \ | \ x \in [a,b], \ \mu(x) \le y \le v(x) \}$$ Luego nos dividimos $\gamma$ en cuatro pedazos de la siguiente manera, y no estoy seguro de lo que está pasando aquí y ¿por qué podemos hacer esto?

$$r_1(t) = \begin{pmatrix}t \\ \mu(t) \end{pmatrix} \ \ \ \ \text{when} \ t \in [a,b]$$ $$r_2(t) = \begin{pmatrix} b \\(1-t)\mu(b) + tv(b) \end{pmatrix} \ \ \ \ \text{when} \ t \in [0,1]$$ $$r_3(t) = \begin{pmatrix} b-t \\ v(b-t) \end{pmatrix} \ \ \ \ \text{when} \ t \in [0,b-a]$$ $$r_4(t) = \begin{pmatrix} a \\t\mu(a) + (1-t)v(a) \end{pmatrix} \ \ \ \ \text{when} \ t \in [0,1]$$ ¿Qué es lo que pasa? ¿Se trata de un hecho comúnmente conocido? En el libro no se da ninguna explicación, y mi experiencia con ecuaciones paramétricas es muy limitada.

Answer 1

La ecuación paramétrica $r(t) = (f(t),g(t))$ da ecuaciones $x=f(t)$ y $y=g(t)$ para las coordenadas $x$ y $y$ en términos de una variable $t$ .

La región $D$ está limitada (por arriba y por abajo) por $\mu(x)$ y $\nu(x)$ y el $r_1$ y $r_3$ son una parametrización de estos bits ( $r_3$ va hacia atrás porque vamos en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de la región): observe que el $x$ viene dada por $t$ en el caso de $r_1$ de modo que $r_1$ satisface $y=\mu(x)$ (la segunda coordenada es $\mu$ aplicada a la primera).

$r_2$ parametriza el segmento de la línea $x=b$ (fíjese de nuevo en la primera coordenada) entre $\mu(b)$ y $\nu(b)$ Nota $t=0$ da $y=\mu(b)$ y $t=1$ da $y=\nu(b)$ . $r_4$ funciona de la misma manera, pero en $x=a$ con $t=0$ dando $y=\nu(a)$ y $t=1$ dando $y=\mu(a)$ .