¿Cada extensión plana local de un DVR es un dominio?

Question

El título lo dice todo.

Me gustaría saber si es cierto que dada una extensión de anillo plano finito $A \rightarrow B$ con $A$ un DVR, y $B$ un anillo local, entonces $B$ es necesariamente un dominio. Si no es cierto, ¿hay hipotesis adicionales en $B$ tal que esto sea cierto?

Answer 1

Sólo para sacar esto de la lista de sin respuesta.

No, no es cierto que si $B$ es un local plano $A$ álgebra entonces $B$ es un dominio. El ejemplo de $B=A[x]/(x^2)$ muestra esto. Dicho esto, si usted exige que $B/A$ es unramified entonces esto es cierto. De hecho, puesto que $A\to B$ es a la vez plano y no ramificado es etale. Esto implica que como $A$ es regular local que también lo es $B$ (por ejemplo, véase Etiqueta025N ). Pero, los anillos locales regulares son dominios (por ejemplo, véase Etiqueta00NP ).