Consideremos un tipo especial de función convexa $g(\cdot):\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}$ tal que $g(x)=+\infty$ como $|x|\to \infty$ . Entonces $g$ es diferenciable en casi todas partes dentro de su dominio. Consideremos ahora la cantidad $$\frac{\nabla g(x)}{(g(x))^{1+\delta}},$$ donde $\delta>0$ . ¿Podemos obtener alguna estimación del tipo $$||\nabla g(x)||_2\leq c_g(1+|x|)^{-\gamma} ((g(x))^{1+\delta}$$ para algunos $\gamma>0$ y todos $|x|>R$ donde $c_g$ puede depender de alguna información "local" de $g$ pero no asintóticamente como $x \to \infty$ et $R$ es independiente de $g$ ? ¿O existe algún contraejemplo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Chris
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Permítanme explicar primero lo que Anton escribió: construimos una función lineal a trozos $f$ en $[0,n]$ por inducción en $n$ . Supongamos que ya está construido en $[0,n]$ . Defina la derivada derecha $D^+f(n)$ para que se viole su desigualdad. Entonces extienda $f$ linealmente en $[n,n+1]$ . A continuación, suavizar, si necesita una función suave.
Sin embargo, la desigualdad $f'\leq f^{1+\epsilon}$ se cumple en "la mayor parte" del rayo positivo: el conjunto donde se viola tiene medida finita. En efecto, suponiendo que $f$ está aumentando, que $E$ sea el conjunto donde $f'>f^{1+\epsilon}$ et $a>0$ es el punto más a la izquierda de $E$ . Entonces $$|E|\leq\int_E\frac{f'}{f^{1+\epsilon}}dx=\int_{f(E)}\frac{dw}{w^{1+\epsilon}}<\int_{f(a)}\frac{dw}{w^{1+\epsilon}}<\infty.$$ No sé cuál es la extensión adecuada de este argumento a dimensiones superiores, pero ciertamente se pueden hacer algunas afirmaciones de este tipo.
