Teoría de números - Demostración matemática

Question

Estoy intentando demostrar un teorema de mi libro de texto utilizando otro teorema. Lo que necesito para demostrar que

si a,b y c son enteros positivos, demuestre que la combinación lineal entera menos positiva de a y b es igual a la combinación lineal entera menos positiva de a+cb y b.

Cualquier ayuda sería genial, soy nuevo en esto de demostrar cosas en matemáticas.

Answer 1

Pista. Demuestre que los pares $a + cb, b$ y $a, b$ tienen las mismas combinaciones lineales.

Es decir, demostrar que toda combinación lineal de $a + cb$ y $b$ es una combinación lineal de $a$ y $b$ . A la inversa, demuéstrese que toda combinación lineal de $a$ y $b$ es una combinación lineal de $a + cb$ y $b$

Answer 2

Sea la combinación lineal menos positiva de $a,b$ sea $f$ . Puede escribir $f=da+eb$ Ahora demuestra que puedes escribir $f$ como combinación lineal de $a+cb, b$ . Deberías ser capaz de encontrar coeficientes explícitos para la combinación. Para demostrar que esto es mínimo, supongamos que se puede escribir $g \lt f$ como combinación lineal de $a+cb, b$ . Demuestra que puedes escribir $g$ como combinación lineal de $a,b$ violando la suposición de que $f$ es la combinación positiva mínima.