Demostrar que la función indicadora de números enteros es semidefinida positiva

Question

Cómo demostrar que la función $\mathbb{1}_{\mathbb{Z}}(x)$ ¿es semidefinida positiva? Es decir, demostrar que para cualquier $n = 2, 3, ...$ y $x_1, ..., x_n \in \mathbb{R}$ , $z_1, ..., z_n \in \mathbb{C}$

$$\sum_{i, j = 1}^n \mathbb{1}_{\mathbb{Z}}(x_i - x_j) z_i \bar z_j \ge 0$$

Pensé en representar a $\mathbb{1}_{\mathbb{Z}}(x)$ como la suma $\mathbb{1}_{\mathbb{Z}}(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z} } \mathbb{1}_k(x)$ entonces si $\mathbb{1}_k(x)$ es semidefinida positiva, $\mathbb{1}_{\mathbb{Z}}(x)$ debe ser también semidefinida positiva (como el límite). Pero para $\mathbb{1}_k(x)$ donde $k \neq 0$ Tampoco puedo demostrar la semidefinición positiva.

Answer 1

Sea $I$ sea el conjunto de todos los $j$ tal que $x_1-x_j\in\mathbb{Z}$ . Entonces la suma $$\sum_{i,j=1}^{n}1_{\mathbb{Z}}(x_i-x_j)z_i\overline{z}_j$$

es igual a

$$z_1\overline{z}_1+z_1\left(\sum_{i\in I}\overline{z}_i\right)+\overline{z}_1\left(\sum_{i\in I}z_i\right)+\text{ terms without }z_1$$

Observe que $\left(\sum_{i\in I}z_i\right)\left(\sum_{i\in I}\overline{z}_i\right)$ ya está en el términos sin $z_1$ parte. La razón es que si $x_1-x_i\in\mathbb{Z}$ y $x_1-x_i\in\mathbb{Z}$ entonces $x_i-x_j=(x_1-x_j)-(x_1-x_i)\in\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, podemos reescribir la suma como

$$\left(z_1+\sum_{i\in I}z_i\right)\left(\overline{z}_1+\sum_{i\in I}\overline{z}_i\right)+\text{ other terms without }z_1$$

Denote $z_1':=z_1+\sum_{i\in I}z_i$ y la suma se convierte en $$z_1'\overline{z}_1'+\text{ terms without }z_1'$$ Repita este procedimiento con la siguiente variable, por ejemplo $z_2$ que aparece en la parte de términos sin $z_1'$ . Finalmente nos deshacemos de todos los términos mezclados y la suma queda como

$$\sum_i z_i'\overline{z}_i'=\sum_i|z_i'|^2\geq0$$