Cómo demostrarlo $a+b$ es múltiplo de $24$ ?

Question

Sea $x$ sea un número entero menor que un múltiplo de $24$ . Demostrar que si $a$ y $b$ son enteros positivos tales que $ab=x$ entonces $a+b$ es múltiplo de $24$ .

Answer 1

Así que $ab \equiv -1 \pmod {24} \implies \gcd(a,24) = \gcd(b,24) = 1$ . Entonces $ab = 24k-1$ así que $b = \frac{24k-1}a$ y $a+b = \frac{24k-1+a^2}a$ . Desde $\gcd(a,24) = 1$ se deduce que $a^2 \equiv 1 \pmod {24}$ y hemos terminado.

Answer 2

Mod $24\!:\ ab \equiv -1\,\Rightarrow\, -b \equiv a^{-1} \equiv a,\ $ por $\,a\,$ invertible $\,\Rightarrow\, a^2\equiv 1\,$ por Euler $\phi$ o Carmichael $\lambda$ .

Answer 3

He aquí un enfoque diferente. Se da que $ab+1$ es múltiplo de $24$ . Desde $ab\equiv3\pmod4$ tenemos $$a\equiv1\pmod4\quad\hbox{and}\quad b\equiv3\pmod4\ ,$$ o viceversa. En cualquier caso, $(a-1)(b-1)$ es múltiplo de $8$ . Igualmente, $ab\equiv2\pmod3$ implica $$a,b\equiv1,2\pmod3$$ y así $(a-1)(b-1)$ es múltiplo de $3$ . Por lo tanto $(a-1)(b-1)$ es múltiplo de $24$ y, por tanto $$a+b=(ab+1)-(a-1)(b-1)$$ también es múltiplo de $24$ .