¿Existe una acción de círculo libre suave en la botella Klein?

Question

¿Puede el grupo circular $S^1$ actuar suave y libremente en la botella Klein? Estoy seguro de que hay alguna razón obvia por la que la respuesta es no, que se me escapa ahora mismo.

Podemos ver $K$ como cociente de $S^1\times S^1\subset\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ por la involución $(z_1,z_2)\to (-z_1,z_2^{-1})$ . Entonces obtenemos un $S^1$ -acción $(z,[z_1,z_2])\to [zz_1,z_2]$ con $\mathbb{Z}_2$ isotropía ( $-1$ fija los círculos $[z_1,1]$ y $[z_1,-1]$ ).

Answer 1

No. Si tuvieras una acción libre suave, el cociente sería un 1-manifold conectado compacto, por lo que un círculo. Así que la botella de Klein sería un haz de círculos orientable sobre el círculo, pero sólo hay uno y es un toroide.

Así que las herramientas que estoy utilizando son (1) cuando el cociente de una variedad por una acción libre de un grupo de Lie compacto es otra variedad, (2) la clasificación de 1-manifolds, (3) la clasificación de los haces de círculos.