¿Área como número complejo?

Question

Así que estaba tratando de resolver la siguiente integral -

$$\int_{2006}^{2020} \frac{\ln^{i}(\psi^{i})}{\psi} d\psi$$ No era tan malo en realidad (se puede encontrar la pregunta y su solución aquí ). Pero no esperaba que la respuesta fuera un número complejo ( $\approx 0.00064 + 0.0013i$ ). Así que mi pregunta es

• ¿Puede interpretarse el área bajo una gráfica como un número complejo? En caso afirmativo, ¿cómo?
• ¿Es esto algo común para las funciones que implican números complejos? (potencias imaginarias por ejemplo)
• Por último, ¿se trata siquiera de una zona?

Answer 1

Aunque estamos integrando sobre una variable real, el integrando es complejo. Con la condición de linealidad $\int_a^b(f+ig)d\psi=\int_a^bfd\psi+i\int_a^bgd\psi$ el problema se reduce a calcular las áreas bajo dos funciones de valor real.

Answer 2

En $[a,b]$ es un intervalo real y $f:\>[a,b]\to{\mathbb R}^d$ o $[a,b] \to{\mathbb C}$ es una función, entonces la integral $$\int_a^b f(t)\>dt$$ es a su vez un elemento de ${\mathbb R}^d$ o ${\mathbb C}$ . Esta integral puede definirse como límite de muchas maneras, por ejemplo, como límite de sumas de Riemann asociadas a una partición $${\cal P}:\quad a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_N=b$$ del intervalo $[a,b]$ . Tales sumas de Riemann se definen por $$R_{{\cal P},\>\xi}(f):=\sum_{k=1}^N f(\xi_k)\>(x_k-x_{k-1}),\qquad \xi_k\in[x_{k-1},x_k] \quad (1\leq k\leq N)\ ,$$ y son, de hecho, elementos de ${\mathbb R}^d$ o ${\mathbb C}$ .

En $d=1$ tenemos una función real estándar $y=f(x)$ . Las sumas de Riemann son entonces sumas de áreas de rectángulos diminutos que se aproximan al "área bajo la curva". El límite de estas sumas cuando las particiones se hacen cada vez más finas se interpreta, por tanto, como el área real bajo la curva.

En cualquier caso: No pienses que una integral es un "área" en general. En primer lugar es una medida del "impacto total" que tiene una función sobre un determinado dominio $D\subset{\mathbb R}^d$ .

Answer 3

Considere en cambio un número complejo como un vector real de longitud $2$ punteado con el vector $\langle 1, i \rangle$ . Por ejemplo, $3+5i = \langle 3, 5 \rangle \cdot \langle1, i\rangle$ . Entonces una función $f(x) = f_r(x) + if_i(x)$ es igual a $\langle f_r(x), f_i(x) \rangle \cdot \langle1, i\rangle$ .

La integral de $f(x)$ sería igual a $$\langle1, i\rangle\cdot\int_a^b \langle f_r(x), f_i(x)\rangle dx = \langle1, i\rangle \cdot\left\langle \int_a^bf_r(x)dx, \int_a^bf_i(x)dx\right\rangle$$

Este tipo de razonamiento también podría extenderse a los cuaterniones y otros sistemas numéricos. Cada integral es la suma de las integrales individuales (o áreas) multiplicada por la cantidad ( $1, i$ unidades de cuaterniones, etc.).

Answer 4

Creo que la idea de que una integral es un "área" es un tanto errónea. Encontrar áreas es un área de aplicación de la integración, pero eso no es lo que una integral es en realidad. es . Lo que una integral realmente es puede considerarse (a) una suma infinita de valores infinitamente pequeños, o (b) una antiderivada.

Las integrales son usado para las zonas. El área de un rectángulo es la altura por la anchura. Si tomamos una curva y queremos conocer su área, podemos dividirla en rectángulos infinitamente pequeños de igual anchura. La altura de cada rectángulo será $y$ y la anchura será $dx$ . Por lo tanto, el área de cualquier rectángulo será $y\,dx$ . Por lo tanto, la suma de ellos será $\int y\,dx$ . Si $y$ es función de $x$ podemos utilizar la antiderivada para encontrar un valor equivalente.

Así que, como ves, la integral es una aplicación de integrales, pero no equivalente a áreas. En este caso, sí tienes una suma infinita de valores infinitamente pequeños, pero no algo que realmente se consideraría un área bajo la curva. Funciona como una integral, pero no desde el punto de vista del "área".