Cómo evaluar $ \int \! \frac{dx}{1+2\cos x} $ ?

Question

Posible duplicado:
¿Cómo se integra $\int \frac{1}{a + \cos x} dx$ ?

Me he encontrado con esta integral y he probado varios métodos de solución. Lo que se interpone es la constante $2$ en el $\cos(x)$ término. He probado el conjugado (funciona sin el 2$\cos x$ ), Sustitución de Weierstrass (no estoy seguro de haberlo aplicado correctamente), y otros. ¿Existe alguna forma de resolver esta integral de forma elegante o algún truco desconocido (furtivo) cuando te encuentras con familias de integrales similares como esta?:

$$ \int \! \frac{dx}{1+2\cos x} $$

Answer 1

La sustitución de Weierstrass funciona para esta integral, y ni siquiera es tan complicado trabajar con ella.

Sustituir $\tan \frac{x}{2} = t$ para que $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ y $dx = \frac{2dt}{1+t^2}$ . Entonces la integral se reduce a $$ \int \frac{dx}{1+2 \cos x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{1 + \frac{2(1-t^2)}{1+t^2}} dt = \int \frac{2}{1+t^2 + 2 - 2t^2} dt = \int \frac{2}{3-t^2} dt. $$ Para evaluar la integral final, podemos utilizar el método de las fracciones parciales: $$ \frac{2}{3-t^2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{1}{t + \sqrt{3}} - \frac{1}{t - \sqrt{3}} \right). $$

Answer 2

$I=\int \frac{\mathrm{d}x}{1+2\cos x}$

$=\int\frac{\mathrm{d}x}{\sin^2(x/2)+\cos^2(x/2)+2(\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2))}$

$=\int \frac{\mathrm{d}x}{3\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}$

Multiplica el Nr y el Dr del integrando por $\sec^2 (x/2)$ .

Lo conseguirás:

$\int \frac{\sec^2(x/2)\mathrm{d}x}{3-\tan^2(x/2)}$

Sustitución:

$z=\tan(x/2)$

$\mathrm{d}z=1/2 \sec^2(x/2) \mathrm{d}x$

Por lo tanto,

Integral= $\int \frac {2\mathrm{d}z}{3-z^2}$

$=\int \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{1}{\sqrt{3}+z}+\frac{1}{\sqrt{3}-z})\mathrm{d}z$

Answer 3

Generalización :

Consideremos $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}; t = \tan\frac{x}{2}; dx=\frac{2}{1+t^2} dt.$ Entonces conseguimos que nuestra integral se convierta:

$$J = \int \frac{2dt}{(a+b)+(a-b) t^2}$$

I. Para el caso $a>b$ Considera que $a+b=u^2$ y $a-b=v^2$ y obtenerlo: $$J = 2\int \frac{dt}{u^2+v^2 t^2}=\frac{2}{uv} \arctan\frac{vt}{u} +C.$$ Volviendo a nuestra notación obtenemos: $$I=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}} \arctan\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan\frac{x}{2} \right) + C.$$

II. Para el caso $a<b$ Considera que $a+b=u^2$ y $a-b=-v^2$ y obtenerlo: $$J = 2\int \frac{dt}{u^2-v^2 t^2}=\frac{1}{uv}\ln\frac{u+vt}{u-vt} \ +C.$$

Volviendo de nuevo a nuestra notación inicial y a tener eso:

$$I=\frac{2}{\sqrt{b^2-a^2}} \ln\frac{b+a \cos x + \sqrt{b^2-a^2} \sin x}{a+b \cos x} + C.$$

Además, tenga en cuenta que $x$ debe ser diferente de ${+}/{-}\arccos(-\frac{a}{b})+2k\pi$ si $|\frac{a}{b}|\leq1$ .

Q.E.D.