Demuestra que $\mathbb{E}\Big[\mathrm{ln}\big(\frac{X}{\mathbb{E}[X]}\big)\Big] < 0$

Question

Sabemos que $X > 0$ y que $\mathbb{E}[X] < \infty$ .
Demuestra que $\mathbb{E}\Big[\mathrm{ln}\big(\frac{X}{\mathbb{E}[X]}\big)\Big] < 0$ .
¿Podría alguien mostrarme una forma de probarlo? Gracias.

Answer 1

Podemos resolverlo utilizando la desigualdad de Jensen. Dado que $\log()$ es una función cóncava, por la desigualdad de Jensen tenemos que:

$$\mathbb{E}[\log(\frac{X}{\mathbb{E}[X]})] \leq \log(\mathbb{E}[\frac{X}{\mathbb{E}[X]}])$$ Como X es estrictamente positivo (por lo que la expectativa no es cero), y la expectativa existe (por lo que es finita), tenemos que: $$\mathbb{E}[\frac{X}{\mathbb{E}[X]}] = \frac{\mathbb{E}[X]}{\mathbb{E}[X]} = 1$$ Así que..: $$\mathbb{E}[\log(\frac{X}{\mathbb{E}[X]})] \leq \log(\mathbb{E}[\frac{X}{\mathbb{E}[X]}]) = \log(1) = 0$$ $$\mathbb{E}[\log(\frac{X}{\mathbb{E}[X]})] \leq 0$$

Answer 2

Sea $\ln\mathbb{E}[X]=c<\infty$ entonces $\mathbb{E}[\ln(\mathbb{E}[X])]=\ln(\mathbb{E}[X])$ .

$$\mathbb{E}[\ln(X/\mathbb{E}[X])]=\mathbb{E}[\ln(X)]-\mathbb{E}[\ln(\mathbb{E}[X])] = \mathbb{E}[\ln(X)]-\ln(\mathbb{E}[X])$$

A través de la desigualdad de Jensens sabemos que $\ln(\mathbb{E}[X])\geq \mathbb{E}[\ln(X)]$ porque el logaritmo es cóncavo.