Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}$ ser un $2\pi-$ función periódica. Denotemos $e_{k}(x):=e^{ikx}$ y entonces sabemos que el Núcleo Dirichlet tiene formas $$D_{n}(x):=\dfrac{1}{2\pi}\sum_{k=-n}^{n}e_{k}(x)=\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{\sin(n+\frac{1}{2})x}{\sin(\frac{1}{2}x)}.$$
Desempeña un papel vital en la convergencia puntual de la suma parcial $$S_{n}(f):=\sum_{k=-n}^{n}c_{k}(f)e_{k}(x),$$ donde $c_{k}(f)$ es el coeficiente de Fourier de $f$ es decir $$c_{k}(f):=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx.$$
Queremos saber que cuando $S_{n}(f)(x)\longrightarrow f(x)$ puntualmente, como $n\longrightarrow\infty$ .
Entonces necesitamos:
[ Lemma de Riemann-Lebesgue: Si $f\in L^{1}(\mathbb{R})$ entonces $$\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{i\lambda x}dx\longrightarrow 0,\ \text{as}\ \lambda\in\mathbb{R},\ |\lambda|\longrightarrow\infty.$$
Y la afirmación de la convergencia puntual es un corolario:
[Corolario] Si $f\in L^{1}(\mathbb{S})$ satisfaciendo $$\int_{-\delta}^{\delta}\dfrac{|f(x+y)-f(x)|}{|y|}dy<\infty\ \text{for some}\ \delta,$$ entonces $S_{n}(f)(x)\longrightarrow f(x)$ como $n\longrightarrow\infty$ .
Intenté demostrar este corolario pero me quedé atascado cerca del final.
Abajo está mi prueba:
Para estudiar la convergencia, como de costumbre queremos estudiar $S_{n}(f)(x)-f(x)$ así que vamos a calcular: $$S_{n}(f)(x)-f(x)=(D_{n}*f)(x)-f(x)=\int_{-\pi}^{\pi}D_{n}(x-y)f(y)dy-f(x).$$
Obsérvese que utilizando la ortogonalidad, tenemos $$\int_{-\pi}^{\pi}D_{n}(y)dy=\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1}{2\pi}\sum_{k=-n}^{n}e_{k}(y)dy=\dfrac{1}{2\pi}\sum_{k=-n}^{n}\int_{-\pi}^{\pi}e_{k}(y)dy=0+\dfrac{1}{2\pi}\cdot 2\pi=1.$$
Utilizando este resultado, podemos reescribir $S_{n}(f)(x)-f(x)$ como $$S_{n}(f)(x)-f(x)=\int_{-\pi}^{\pi}D_{n}(x-y)f(y)dy-\int_{-\pi}^{\pi}D_{n}(y)f(x)dy,$$ y utilizando la conmutatividad de la convolución $(D_{n}*f)(x)=(f*D_{n})(x)$ , \begin{align*} \text{the above equation}&=\int_{-\pi}^{\pi}f(x-y)D_{n}(y)dy-\int_{-\pi}^{\pi}D_{n}(y)f(x)dy\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}\Big(f(x-y)-f(x)\Big)D_{n}(y)dy. \end{align*}
Ahora introduce la fórmula de $D_{n}(y)$ tenemos \begin{align*} |S_{n}(f)(x)-f(x)|&=\Big|\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{f(x-y)-f(x)}{\sin(\frac{1}{2}y)}\sin(n+\dfrac{1}{2})ydy\Big|\\ &=\Big|\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{f(x+y)-f(x)}{\sin(\frac{1}{2}y)}\sin(n+\dfrac{1}{2})ydy\Big|\\ &\leq\int_{-\pi}^{\pi}\Big|\dfrac{f(x+y)-f(x)}{\sin(\frac{1}{2}y)}\Big|\ \cdot \ \Big|\sin(n+\dfrac{1}{2})y\Big|dy, \end{align*} donde la segunda igualdad se ha obtenido sustituyendo $y\mapsto -y$ y dos signos negativos procedentes de $\sin$ función cancelada y $-dy$ no importa ya que estamos en el valor absoluto.
Me he quedado atascado aquí con dos problemas:
$(1)$ Mi objetivo era argumentar que $$g(y):=\dfrac{f(x+y)-f(x)}{\sin(\frac{1}{2}y)}\in L^{1}(-\pi, \pi)$$ utilizando la hipótesis, pero no sé cómo pasar el denominador $\sin(\frac{1}{2}y)$ a $y$ en la hipótesis, y no sé cómo extender la integral de $-\delta$ a $\delta$ a la integral de $-\pi$ a $\pi$ .
$(2)$ Si $(1)$ se cumple, entonces podemos aplicar el Lemma de Riemann-Lebesgue, pero ¿cómo podría conectar $\sin(n+\dfrac{1}{2})y$ a $e^{i(n+\frac{1}{2})y}$ ?
¡Muchas gracias!