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Utilice el lema de Riemann-Lebesgue para demostrar la convergencia puntual de una suma parcial

Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}$ ser un $2\pi-$ función periódica. Denotemos $e_{k}(x):=e^{ikx}$ y entonces sabemos que el Núcleo Dirichlet tiene formas $$D_{n}(x):=\dfrac{1}{2\pi}\sum_{k=-n}^{n}e_{k}(x)=\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{\sin(n+\frac{1}{2})x}{\sin(\frac{1}{2}x)}.$$

Desempeña un papel vital en la convergencia puntual de la suma parcial $$S_{n}(f):=\sum_{k=-n}^{n}c_{k}(f)e_{k}(x),$$ donde $c_{k}(f)$ es el coeficiente de Fourier de $f$ es decir $$c_{k}(f):=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx.$$

Queremos saber que cuando $S_{n}(f)(x)\longrightarrow f(x)$ puntualmente, como $n\longrightarrow\infty$ .

Entonces necesitamos:

[ Lemma de Riemann-Lebesgue: Si $f\in L^{1}(\mathbb{R})$ entonces $$\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{i\lambda x}dx\longrightarrow 0,\ \text{as}\ \lambda\in\mathbb{R},\ |\lambda|\longrightarrow\infty.$$

Y la afirmación de la convergencia puntual es un corolario:

[Corolario] Si $f\in L^{1}(\mathbb{S})$ satisfaciendo $$\int_{-\delta}^{\delta}\dfrac{|f(x+y)-f(x)|}{|y|}dy<\infty\ \text{for some}\ \delta,$$ entonces $S_{n}(f)(x)\longrightarrow f(x)$ como $n\longrightarrow\infty$ .

Intenté demostrar este corolario pero me quedé atascado cerca del final.

Abajo está mi prueba:

Para estudiar la convergencia, como de costumbre queremos estudiar $S_{n}(f)(x)-f(x)$ así que vamos a calcular: $$S_{n}(f)(x)-f(x)=(D_{n}*f)(x)-f(x)=\int_{-\pi}^{\pi}D_{n}(x-y)f(y)dy-f(x).$$

Obsérvese que utilizando la ortogonalidad, tenemos $$\int_{-\pi}^{\pi}D_{n}(y)dy=\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1}{2\pi}\sum_{k=-n}^{n}e_{k}(y)dy=\dfrac{1}{2\pi}\sum_{k=-n}^{n}\int_{-\pi}^{\pi}e_{k}(y)dy=0+\dfrac{1}{2\pi}\cdot 2\pi=1.$$

Utilizando este resultado, podemos reescribir $S_{n}(f)(x)-f(x)$ como $$S_{n}(f)(x)-f(x)=\int_{-\pi}^{\pi}D_{n}(x-y)f(y)dy-\int_{-\pi}^{\pi}D_{n}(y)f(x)dy,$$ y utilizando la conmutatividad de la convolución $(D_{n}*f)(x)=(f*D_{n})(x)$ , \begin{align*} \text{the above equation}&=\int_{-\pi}^{\pi}f(x-y)D_{n}(y)dy-\int_{-\pi}^{\pi}D_{n}(y)f(x)dy\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}\Big(f(x-y)-f(x)\Big)D_{n}(y)dy. \end{align*}

Ahora introduce la fórmula de $D_{n}(y)$ tenemos \begin{align*} |S_{n}(f)(x)-f(x)|&=\Big|\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{f(x-y)-f(x)}{\sin(\frac{1}{2}y)}\sin(n+\dfrac{1}{2})ydy\Big|\\ &=\Big|\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{f(x+y)-f(x)}{\sin(\frac{1}{2}y)}\sin(n+\dfrac{1}{2})ydy\Big|\\ &\leq\int_{-\pi}^{\pi}\Big|\dfrac{f(x+y)-f(x)}{\sin(\frac{1}{2}y)}\Big|\ \cdot \ \Big|\sin(n+\dfrac{1}{2})y\Big|dy, \end{align*} donde la segunda igualdad se ha obtenido sustituyendo $y\mapsto -y$ y dos signos negativos procedentes de $\sin$ función cancelada y $-dy$ no importa ya que estamos en el valor absoluto.

Me he quedado atascado aquí con dos problemas:

$(1)$ Mi objetivo era argumentar que $$g(y):=\dfrac{f(x+y)-f(x)}{\sin(\frac{1}{2}y)}\in L^{1}(-\pi, \pi)$$ utilizando la hipótesis, pero no sé cómo pasar el denominador $\sin(\frac{1}{2}y)$ a $y$ en la hipótesis, y no sé cómo extender la integral de $-\delta$ a $\delta$ a la integral de $-\pi$ a $\pi$ .

$(2)$ Si $(1)$ se cumple, entonces podemos aplicar el Lemma de Riemann-Lebesgue, pero ¿cómo podría conectar $\sin(n+\dfrac{1}{2})y$ a $e^{i(n+\frac{1}{2})y}$ ?

¡Muchas gracias!

3voto

rck Puntos 121

Por orden:

(1) Observa que puedes reescribir $$ \frac{f(x+y) - f(x)}{\sin(\frac12 y)} = \frac{f(x+y) - f(x)}{y} \cdot \frac{y}{\sin(\frac12 y)} $$ El segundo término en aproximadamente 1 y suave cuando $y\in (-\delta,\delta)$ para $\delta$ suficientemente pequeño, por lo que es inofensivo.

(2) $\sin(x) = \frac1{2i} (e^{ix} - e^{-ix})$ . Así que controlando la integral contra $\exp$ vía Riemann-Lebesgue también controla integrales contra $\sin$ .

(3) Obsérvese que para $y\not\in [-\delta,\delta]$ como $n\to \infty$ el núcleo de Dirichlet $D_n(y)$ converge uniformemente a cero.


Como principio general con muchos de estos tipos de cálculos de análisis de Fourier/harmónicos: tu objetivo es aprovechar el hecho de que $D_n$ es una "aproximación a la identidad", que moralmente dice que como $n\to \infty$ empieza a parecerse cada vez más al Dirac $\delta$ . Así que siempre debes dividir inmediatamente tu integral en dos partes, la primera localizada donde el núcleo se vuelve "singular", y donde te deshaces de la singularidad con algún tipo de "integración por partes" o "cancelación", y la segunda para el resto del espacio donde el núcleo converge a cero.

Si puedes interiorizar este truco, no tendrás problemas para entender construcciones aún más complicadas, como la teoría de Calderón-Zygmund.

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