¿Existe una regla general para demostrar que una ecuación no tiene solución analítica?

Question

Alguien preguntó esto aquí:

Demostrar que una ecuación no tiene solución elemental

Pero hasta ahora no hay respuesta. Lo poco que sé de matemáticas lo he aprendido por mi cuenta, así que no tengo una visión general de las cosas. Me preguntaba si existe una regla general para demostrar que una función no tiene solución analítica. Por ejemplo:

$$10=x+\ln(x)$$

¿Cómo puedo encontrar el valor de $x$ ? ¿Cómo puedo demostrar que esto no es posible con simples matemáticas? Incluso sin matemáticas simples, hay alguna herramienta para hacerlo?

Answer 1

Sí, no hay soluciones algebraicas a este problema francamente no puedo responder a la última parte de su pregunta sin embargo puedo demostrar una solución algebraica-ish. Así que básicamente hay algo que se llama función de Lambert W y la función se muestra con una W mayúscula.

$W(c)=x , c= xe^x$

Es una función bastante útil que nos permite resolver ecuaciones como $x^x=5$ . Aunque no es una solución algebraica, nos da una idea de lo que estamos tratando.

En el ejemplo dado podemos aplicar lo siguiente así: $10-lnx=x$

$lne^{10}-lnx=x$

$ln{e^{10} \over x}=lne^x$

${e^{10} \over x} = e^x$

$e^{10} =xe^x$

$W(e^{10})=x\approx 7.9294$

Puede encontrar los valores para la entrada dada en la función W de Lambert utilizando Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/input/?x=0&y=0&i=productlog(e%5E10)