Regular una suma infinita en el $bc$ CFT

Question

El tensor EM del $bc$ -CFT es $$ T(z) = \colon \partial b c \colon - \lambda \partial \colon b c \colon $$ Después de expandir en una expansión de modo, encontramos $$ T(z) = \sum_{m} \frac{1}{z^{m+2}} \sum_n \left( \lambda m - n \right) \colon b_n c_{m-n} \colon \implies L_m = \sum_n \left( \lambda m - n \right) \colon b_n c_{m-n} \colon ...(1) $$ Ahora, nos gustaría reescribir esta expresión utilizando el orden normal de creación-aniquilación (CA) ${}_\circ^\circ{}_\circ^\circ$ en lugar del orden conforme-normal $\colon~~\colon$ . Un simple cálculo revela $$ L_m = \sum_n \left( \lambda m - n \right) {}_\circ^\circ b_n c_{m-n}{}_\circ^\circ + \frac{\lambda \left( 1 - \lambda \right)}{2} \delta_{m,0} $$ La expresión anterior se ha obtenido exigiendo que $L_m$ satisfacen el álgebra de Virasoro.

Ahora pretendo ofrecer una derivación alternativa de la expresión anterior. Éste es mi procedimiento. Empezamos con el resultado del ejercicio 2.13(a) de Polchinski (que ya he verificado) $$ \colon b(z) c(w) \colon - {}_\circ^\circ b(z) c(w) {}_\circ^\circ = \frac{(z/w)^{1 - \lambda} - 1 }{z - w} $$ Ahora, tomando un límite de $w \to z$ encontramos $$ \colon b(z) c(z) \colon = {}_\circ^\circ b(z) c(z) {}_\circ^\circ + \frac{1-\lambda}{z} $$ de donde podemos derivar la diferencia entre la ordenación normal CA y la ordenación conforme de los coeficientes de modo $$ \colon b_m c_n \colon = {}_\circ^\circ b_m c_n {}_\circ^\circ + \left( 1 - \lambda \right) \delta_{m+n,0} $$ Ahora, partamos de la expresión $(1)$ e introduce lo anterior. Encontramos \begin{equation} \begin{split} L_m &= \sum_n \left( \lambda m - n \right) \colon b_n c_{m-n} \colon \\ &= \sum_n \left( \lambda m - n \right) \left[ {}_\circ^\circ b_n c_{m-n} {}_\circ^\circ + \left( 1 - \lambda \right) \delta_{m,0} \right] \\ &= \sum_n \left( \lambda m - n \right) {}_\circ^\circ b_n c_{m-n} {}_\circ^\circ + \delta_{m,0} \sum_n n \left( \lambda - 1 \right) \\ \end{split} \end{equation} Comparando con la expresión mencionada anteriormente, tenemos que

$$ \sum_{n=-\infty}^\infty n \left( \lambda - 1 \right) = \frac{\lambda \left( 1 - \lambda \right)}{2} $$ No puedo demostrarlo. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

De hecho, la línea

$$\colon b_m c_n \colon = {}_\circ^\circ b_m c_n {}_\circ^\circ + \left( 1 - \lambda \right) \delta_{m+n,0}$$ es incorrecto. Sin embargo, existe una relación entre los modos, que intentaremos deducir a continuación.

En primer lugar, creo que la intuición para los dos modos es importante y aquí está mi entendimiento ( y por favor hágamelo saber si usted piensa lo contrario): la CNO (ordenación normal conforme) $\colon \colon$ se refiere a aquella ordenación que pone aniquiladores del vacío SL2(R) a la derecha, mientras que CAO (creation annihilation ordering) ${}_\circ^\circ {}_\circ^\circ$ lugares bajando modos a la derecha (hasta las anticonmutaciones).

Pasemos ahora a la derivación de la relación entre los dos modos.

Empieza con:

$$\colon b(z) c(w) \colon - {}_\circ^\circ b(z) c(w) {}_\circ^\circ = \frac{(z/w)^{1 - \lambda} - 1 }{z - w}$$

Observemos que el lado derecho puede escribirse como

$$\frac{(z/w)^{1 - \lambda} - 1 }{z - w}=-\frac{1}{z}(1+\frac{w}{z}+...+\frac{w^{\lambda-2}}{z^{\lambda-2}})$$

Expandiendo el LHS en modos, ahora tenemos:

$$\colon \sum\limits_{n',m'}\frac{b_{n'} c_{m'}}{z^{n'+\lambda}w^{m'+1-\lambda}} \colon - {}_\circ^\circ \sum\limits_{n',m'}\frac{b_{n'} c_{m'}}{z^{n'+\lambda}w^{m'+1-\lambda}} {}_\circ^\circ = -\frac{1}{z}(1+\frac{w}{z}+...+\frac{w^{\lambda-2}}{z^{\lambda-2}})$$

Multipliquemos ambos lados por $\frac{1}{z^{-n-\lambda+1}w^{-m+\lambda}}$ e integrar alrededor de z=0, w=0 (ignorando los factores de $\frac{1}{2\pi i})$ . Obsérvese que el LHS da simplemente

$$\colon b_n c_m \colon - {}_\circ^\circ b_n c_m {}_\circ^\circ$$

mientras que el lado derecho da

$$-\oint \oint dz dw \frac{1}{z^{-n-\lambda+1}w^{-m+\lambda}}\frac{1}{z}(1+\frac{w}{z}+...+\frac{w^{\lambda-2}}{z^{\lambda-2}})$$

Cuándo es el RHS no ¿igual a cero? cuando $\textbf{both}$ la z $\textbf{and}$ w integrales son distintas de cero.

Ahora fíjate en lo siguiente: Por el teorema del residuo, La integral de z es distinta de cero sólo cuando el integrando es de la forma $\frac{1}{z}$ y eso sólo puede ocurrir para valores de $n$ tal que $n=k+1-\lambda$ con $k=0,1,2,...,\lambda-2$ visto multiplicando los paréntesis.

Sin embargo, esto fija también la potencia de w que aparece en la segunda integral: por tanto, los únicos valores de m para los que la segunda integral es distinta de cero, dado que la primera integral es distinta de cero, son para $m=-k-1+\lambda$ Eso es, $m=-n$ .

Así, hemos demostrado que sólo para los casos $-m=n=-1,-2,...1-\lambda$ los dos modos son $\textbf{not}$ iguales, y en esos casos tenemos

$$\colon b_n c_{-n} \colon = {}_\circ^\circ b_n c_{-n} {}_\circ^\circ -1, n=-1,...,1-\lambda$$

y de lo contrario tenemos

$$\colon b_n c_m \colon = {}_\circ^\circ b_n c_m {}_\circ^\circ$$

Utilicemos esta relación corregida entre los modos para demostrar ahora la constante de ordenación normal de $L_m$ :

\begin{equation} \begin{split} L_m &= \sum_n ( \lambda m - n ) \colon b_n c_{m-n} \colon \\ &= (\sum\limits_{n=-\infty}^{-\lambda}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}) ( \lambda m - n ) {}_\circ^\circ b_n c_{m-n} {}_\circ^\circ + \sum\limits_{n=1-\lambda}^{-1}( \lambda m - n)({}_\circ^\circ b_n c_{m-n} {}_\circ^\circ -1\delta_{m,0}) \\ &= \sum_n ( \lambda m - n ) {}_\circ^\circ b_n c_{m-n} {}_\circ^\circ + \sum\limits_{n=1-\lambda}^{-1}( - n)(-1\delta_{m,0}) \\ &= \sum_n ( \lambda m - n ) {}_\circ^\circ b_n c_{m-n} {}_\circ^\circ + \frac{\lambda \left( 1 - \lambda \right)}{2} \delta_{m,0}\\ \\ \end{split} \end{equation} según sea necesario.

Nota:

La derivación anterior se hizo para demostrar cuidadosamente que existe una relación entre los modos, que se puede derivar de las definiciones originales de campo expandido no modal $ \colon b(z) c(z) \colon$ & ${}_\circ^\circ b(z) c(z) {}_\circ^\circ $ .

Sin embargo, una derivación más rápida de la constante de orden normal $\frac{\lambda( 1 - \lambda )}{2}$ podría obtenerse simplemente utilizando las definiciones de CNO y CAO que di al principio (averiguar qué $b_n,c_m$ modos matan el vacío SL2(R) y eso te define CNO, CAO es simplemente poner los modos positivos a la derecha y los negativos a la izquierda. Entonces usa la relación de conmutación entre $b_n$ y $c_m$ para relacionar ambas definiciones). Lo dejo como ejercicio.