subgrupo de cíclicos y su orden

Question

Entiendo como cualquier subgrupo es cíclico y hay un subgrupo por cada divisor de $d$ Digamos, por ejemplo

Sea $d$ sea un divisor de $n=|G|$ . Considere $H=\{ x \in G : x^d =e\}$ . Entonces $H$ es un subgrupo de $G$ y $H$ contiene todos los elementos de $G$ que tienen orden $d$ y $d$ es igual a 4

¿alguien puede explicarlo?

Answer 1

Hay muchas formas de responder a eso, según la cantidad de teoría de grupos que hayas estudiado hasta ahora.

La forma más elemental que se me ocurre de calcularlo es utilizando el siguiente teorema, que no es difícil de demostrar: Un grupo cíclico G de orden finito tiene la siguiente propiedad: Para cada d que divide |G|, hay un único subgrupo (que es cíclico) de orden d. Esto de hecho es si y sólo si, pero no necesitaremos eso.

Con ese teorema tu pregunta se vuelve fácil. Los únicos elementos $x$ tal que $x^4=e$ son elementos de orden 1, 2, 4. Hay un único elemento de orden 1, el elemento identidad. Dado que hay un único subgrupo de orden 2, eso significa que hay un único elemento de orden 2, digamos $g$ que forma el subgrupo de orden 2

$$ H=\{g, g^2=e\} $$

También existe un único subgrupo cíclico K de orden 4, digamos $K=\langle h\rangle =\{h, h^2, h^3, h^4=e \}$ . Se puede ver inmediatamente que $h^2$ tiene orden 2 por lo que debe ser igual a g debido a la unicidad que discutimos anteriormente. También, $h^3$ tiene orden 4. Por lo tanto tenemos 4 elementos con orden hasta 4, a saber $e, g, h, h^3$ . Sabemos que no hay más elementos de este tipo porque eso contradiría el teorema anterior, ya que cualquier elemento nuevo, digamos $x$ de orden 2 ó 4, distinto del anterior, generaría un nuevo subgrupo de orden 2 ó 4, a saber $N=\langle x\rangle$ .