Estimación de energía para la ecuación del calor

Question

Considere la siguiente ecuación de calor en un dominio suave acotado $D \subset \mathbb{R}^d$: \begin{align*} u_t -\triangle u &= f, \qquad (x,t) \in D \times (0,T)\\ \partial_n u &=0, \qquad (x,t) \in \partial D \times (0,T)\\ u(x,0)&=0, \qquad x \in D. \end{align*} Estoy interesado en algunos métodos utilizados para obtener una estimación de energía de la forma $$\|u\|_{H^1(0,T;L^2) \cap L^2(0,T;H^2)} \le C(T) \|f\|_{L^2(0,T;L^2)},$$ con una constante explícita mejor $C(T)$. Tenga en cuenta que el lema de Gronwall proporciona una constante exponencial en $T$.

¿Conoces alguna referencia que cubra tal estimación?

Answer 1

Para una función dada $g\in L^2(\Omega)$ se define $\bar g:=\int_\Omega g\ dx$. Al probar la ecuación con la función constante $1$, realizando integración por partes en el espacio se obtiene la ecuación diferencial ordinaria $$ (\bar u)_t = \bar f, \ \bar u(0)=0. $$ Entonces $\|\bar u\|_{L^\infty(0,T)} \le \|\bar f\|_{L^1(0,T)}$.

Al probar la ecuación con $u-\bar u $, integrando por partes en el espacio, e integrando desde $0$ hasta $t$ en el tiempo se llega a $$ \|u(t)-\bar u\|_{L^2}^2 - \| u(0)\|_{L^2}^2 + \|\nabla u\|_{L^2(0,t;L^2)}^2 = \int_0^t \int_\Omega f (u-\bar u) dt. $$ Ahora $$ \int_0^t\int_\Omega f (u-\bar u) dt =\int_0^t\int_\Omega (f-\bar f) (u-\bar u) dt \le \|f-\bar f\|_{L^2(0,t;L^2)} \|u-\bar u\|_{L^2(0,t;L^2)} , $$ el último factor es menor que $c\|\nabla u\|_{L^2(0,t;L^2)} $ por la desigualdad de Poincaré ($c$ depende solo de $\Omega$). Y esta expresión puede ser compensada por el lado izquierdo.

De manera similar, al probar la ecuación con $-\Delta u$, integrando por partes en el espacio en el primer término, e integrando desde $0$ hasta $t$ en el tiempo se llega a $$ \|\nabla u(t)\|_{L^2}^2 - \|\nabla u(0)\|_{L^2}^2 + \|\Delta u\|_{L^2(0,t;L^2)}^2 = \int_0^t f (-\Delta u) dt. $$ Combinando todas estas estimaciones, obtenemos: $$ \|\bar u\|_{L^\infty(0,T)}^2 + \|u-\bar u\|_{L^\infty(0,T;L^2)}^2 + \|\nabla u\|_{L^2(0,T;L^2)}^2 + \|\Delta u\|_{L^2(0,T;L^2)}^2 \le c\left( \|\bar f\|_{L^1(0,T)}^2 + \|f-\bar f\|_{L^2(0,T;L^2)}^2 + \|f\|_{L^2(0,T;L^2)}^2 \right), $$ donde $c$ es independiente de $T$. Al estimar estas normas de $L^1$ y $L^\infty$ contra normas de $L^2$, obtendríamos factores adicionales dependiendo de $T$. Sin embargo, al no haber utilizado la desigualdad de Gronwall, las constantes no son exponenciales en $T$.

Answer 2

Aquí hay otra versión de la respuesta anterior.

Realmente solo necesitas una estimación para $\|\Delta u\|_{L^2(0,T;L^2)}$ y para $\|\bar u\|_{L^2(0,T)}$.

Por un lado, tal estimación implica una estimación para $u_t$ en $L^2(0,T;L^2)$, simplemente usando la ecuación y la desigualdad triangular.

Por otro lado, también se sigue una estimación para $\|u\|_{L^2(0,T;H^2)}$, ya que $$ \|u\|_{H^2}^2 \le const \cdot (\|\Delta u\|_{L^2}^2 + \bar u^2) $$ por la teoría estándar de regularidad elíptica, donde la constante depende de la geometría de $\Omega$. Ahora sigue una estimación para $\Delta u$ al probar la ecuación con $- \Delta u$, lo que da después de integrar por partes $$ \int_0^T \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla u_t + \int_0^T \int_\Omega |\Delta u|^2 = -\int_0^T \int_\Omega f \cdot \Delta u \, . $$
El primer término a la izquierda es no negativo (simplemente integra con respecto a $t$), y la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica $$ \|\Delta u \|_{L^2(0,T;L^2)} \le 1 \cdot \|f \|_{L^2(0,T;L^2)} $$ Como en la respuesta anterior, esto se puede mejorar reemplazando $f$ con $f - \bar f$.