Propiedades de un conjunto $\{(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid x^2+y^2=\arctan(z)\}$ y su imagen $p(S)$ bajo la proyección $p$

Question

Sea $S=\{(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid x^2+y^2=\arctan(z)\}$ y que $p:\Bbb R^3\to\Bbb R^2,p(x,y,z)= (x,y)$ .

Es $S$ ¿Cerrado? ¿Es compacto? ¿Y $p(S)$ y lo que es $\partial(p(S))$ ?

Mi intento:

Podemos escribir $S=f^{-1}(\{0\}),$ donde $f:\Bbb R^3\to\Bbb R, f(x,y,z)=x^2+y^2-\arctan(z).$

$S$ es cerrado como preimagen de un conjunto cerrado bajo una función continua $f,$ pero es ilimitado porque $|z|$ puede llegar a ser arbitrariamente grande y creo que es sólo $|x|,|y|$ que están delimitadas por $\frac{\pi}2$ como $|\arctan(z)|<\frac{\pi}2.$

Ahora, creo que $p(S)=\left\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x^2+y^2<\frac{\pi}2\right\}$ y $p(S)$ es acotada, pero no cerrada ya que, si tomamos la secuencia $\left(\left(0,\frac{\pi}2-\frac1n,n\right)\right)_n$ en $S,$ obtenemos la secuencia $\left(\left(0,\frac{\pi}2-\frac1n\right)\right)_n$ en $p(S)$ convergiendo hacia $\left(0,\frac{\pi}2\right)\color{red}{\notin p(S)}$ porque, si $(x,y,z)\in S,$ entonces $|y|<\frac{\pi}2.$ Por lo tanto, creo que $p(S)$ no es compacto.

Si mi conclusión $p(S)$ es correcto, entonces $\partial (p(S))=\left\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x^2+y^2=\frac{\pi}2\right\}$ porque $\begin{aligned}\overline{p(S)}&=\operatorname{Int}(p(S))\cup\partial(p(S))\\\implies\partial (p(S))&=\overline{p(S)}\setminus\operatorname{Int}(p(S))\\&=\overline{p(S)}\setminus p(S)\\&=\left\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x^2+y^2\le \frac{\pi}2\right\}\setminus\left\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x^2+y^2<\frac{\pi}2\right\}\end{aligned}$

O, podríamos tomar un punto arbitrario $T=\frac\pi2(\cos(\theta),\sin(\theta)),\theta\in[0,2\pi)$ en el círculo y construir dos secuencias $$a_n=\left(\frac\pi2-\frac1n\right)(\cos(\theta),\sin(\theta))\quad\text{in }p(S)\\\text{and}\\b_n=\left(\frac\pi2+\frac1n\right)(\cos(\theta),\sin(\theta))\quad\text{in }\Bbb R^2\setminus p(S)$$ para argumentar que, $\forall\varepsilon>0$ el balón abierto $B(T,\varepsilon)$ contiene algunos puntos tanto de $p(S)$ y $\Bbb R^2\setminus p(S)$ .

¿Es válida mi respuesta? Si no es así, ¿cómo debería mejorarla?

Answer 1

Sus argumentos son correctos. En mi opinión, la parte relativa a $p(S)$ es demasiado complicado. Usted muestra correctamente que $p(S)$ es el disco abierto $B(0,r) = \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid x^2 + y^2 < r^2\}$ con centro $0$ y radio $r = \sqrt{\pi/2}$ . Es bien sabido que un disco abierto $B(0,r)$ no es cerrado y que su límite topológico es el círculo $S(0,r) = \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid x^2 + y^2 = r^2\}$ con centro $0$ y radio $r$ .

Si realmente quieres demostrar explícitamente estos hechos, puedes hacerlo de la siguiente manera:

1. Observe que $B(0,r)$ es un subconjunto abierto de $\mathbb R^2$ .

2. Observe que $D(0,r) = \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid x^2 + y^2 \le r^2\}$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb R^2$ .

3. Observe que $S(0,r)$ está contenido en el cierre de $B(0,r)$ : Dado $z \in S(0,r)$ los puntos $z_n = (1-1/n)z$ mentir en $B(0,r)$ y $z_n \to z$ .

4. Concluir que el cierre de $B(0,r)$ es $D(0,r)$ y que por lo tanto $\partial B(0,r) = S(0,r)$ .