Las dos formas del mapa de Henon

Question

La forma más utilizada del mapa de Henon, según Wikipedia es $$ \begin{cases}x_{n+1} = 1-a x_n^2 + y_n\\y_{n+1} = b x_n.\end{cases} $$

Sin embargo, en otros lugares, por ejemplo en el manual de auto07p existe una forma alternativa: $$ \begin{cases}x'_{n+1} = a- {x'}_n^{2} -b y'_n\\y'_{n+1} = x'_n.\end{cases} $$

Mis preguntas son : ¿Existe alguna relación formal, por ejemplo una transformación de coordenadas, entre estas dos formas de mapa de Henon? En caso afirmativo, ¿cuál es la relación formal?

Answer 1

Sí, son equivalentes y existe una relación sencilla entre ellos. Basta con comprobar un $x = \alpha u $ , $y = \beta v$ cambio de variables. Hagamos esto:

\begin{cases}\overline{x} = 1-a x^2 + y\\\overline{y} = b x.\end{cases}

entonces:

\begin{cases} \alpha\overline{u} = 1-a \alpha^2 u^2 + \beta v\\ \beta\overline{v} = b \alpha u.\end{cases}

después de eso:

\begin{cases} \overline{u} = \frac{1}{\alpha}-a \alpha u^2 + \frac{\beta}{\alpha} v\\\overline{v} = \frac{b}{\beta} \alpha u.\end{cases}

Y ahora vamos a elegir las constantes apropiadas:

$$ \alpha a = 1 $$ $$ b \alpha = \beta$$

Por fin obtenemos:

\begin{cases} \overline{u} = a-u^2 + b v\\\overline{v} = u.\end{cases}

Después de este cambio de variables el mapa de Henon de la forma I con parámetros $(a, b)$ se convierte en mapa de Henon de forma II con parámetros $(a, -b)$ .